专题13立体几何中的向量方法-高考数学（文）备考学易黄金易错点Word版含解析.docVIP

1．直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BCA＝90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC＝CA＝CC1，则BM与AN所成角的余弦值为(　　) A.110B.25C.30)10D.2)2 答案　C 方法二　如图(2)，取BC的中点D，连接MN，ND，AD， 由于MN綊12B1C1綊BD，因此有ND綊BM，则ND与NA所成的角即为异面直线BM与AN所成的角． 设BC＝2，则BM＝ND＝6，AN＝5，AD＝5， 因此cos∠AND＝ND2＋NA2－AD22ND·NA＝30)10. 2.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点O为线段BD的中点．设点P在线段CC1上，直线OP与平面A1BD所成的角为α，则sinα的取值范围是(　　) A．3)3，1] B．6)3，1] C．6)3，2)3] D．2)3，1] 答案　B 解析　根据题意可知平面A1BD⊥平面A1ACC1且两平面的交线是A1O， 所以过点P作交线A1O的垂线PE， 则PE⊥平面A1BD， 根据选项可知B正确． 3．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P在直线BC1上运动时，有下列三个命题：①三棱锥A－D1PC的体积不变；②直线AP与平面ACD1所成角的大小不变；③二面角P－AD1－C的大小不变．其中真命题的序号是________． 答案　①③ 解析　①中，∵BC1∥平面AD1C，∴BC1上任意一点到平面AD1C的距离相等，所以体积不变，正确；②中，点P在直线BC1上运动时，直线AB与平面ACD1所成角和直线AC1与平面ACD1所成角不相等，所以不正确；③中，点P在直线BC1上运动时，点P在平面AD1C1B中，既二面角P—AD1－C的大小不受影响，所以正确． 4．已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，点E、F分别为BB1、CD的中点，则点F到平面A1D1E的距离为______________． 答案　5)10 解析　以点A为坐标原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图所示， 5.如图，直三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1＝AB＝AC＝1，点E，F分别是CC1，BC的中点，AE⊥A1B1，点D为棱A1B1上的点． (1)证明：DF⊥AE； (2)是否存在一点D，使得平面DEF与平面ABC所成锐二面角的余弦值为14)14？若存在，说明点D的位置，若不存在，说明理由． (1)证明　∵AE⊥A1B1，A1B1∥AB，∴AE⊥AB， 又∵AA1⊥AB，AA1?面A1ACC1，AE?面A1ACC1，AA1∩AE＝A， ∴AB⊥面A1ACC1. 又∵AC?面A1ACC1，∴AB⊥AC， 以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系Axyz， 则有A(0,0,0)，E\a\vs4\al\co1(0，1，\f(12))，F\a\vs4\al\co1(\f(112)，0，A1(0,0,1)，B1(1,0,1)， 由(1)可知平面ABC的法向量n＝(0,0,1)． 设平面DEF的法向量为m＝(x，y，z)， 则m·\o(FE→)DF→))＝0， ∵→＝(－12，12，12)，→＝\a\vs4\al\co1(\f(112)，－1， ∴－\f(1112\rc\12)y－z＝0，　即x＝\f(32?1－λ?1＋2λ2?1－λ?)z， 6．如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，平面ABEF为正方形，AF＝2FD，∠AFD＝90°，且二面角D－AF－E与二面角C－BE－F都是60°. (1)证明：平面ABEF⊥EFDC； (2)求二面角E－BC－A的余弦值． (1)证明　由已知可得AF⊥DF，AF⊥FE， 所以AF⊥平面EFDC，又AF?平面ABEF， 故平面ABEF⊥平面EFDC. (2)解　过点D作DG⊥EF，垂足为G，由(1)知DG⊥平面ABEF.以点G为坐标原点，→的方向为x轴正方向，|→|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系Gxyz. 由(1)知∠DFE为二面角D－AF－E的平面角，故∠DFE＝60°，则DF＝2，DG＝3，可得A(1,4,0)，B(－3,4,0)，E(－3,0,0)，D(0,0，3)． 由已知，AB∥EF，所以AB∥平面EFDC，又平面ABCD∩平面EFDC＝CD，故AB∥CD，CD∥EF， 由BE∥AF，可得BE⊥平面EFDC，所以∠CEF为二面角C－BE－F的平面角，∠CEF＝60°，从而可得C(－2,0，3)． 易错起源1、利用向量证明平行与垂直 例1、如图，在直三棱柱ADE—BCF中，面ABFE和面ABCD都是正方形且互相垂直，点M为AB的中点，点O为DF的中点．运用向量方法证明： (1)OM∥平面BCF； (2)平面MDF⊥平面EFCD. 证明　方法一　由题意，得AB，AD，AE两两垂