专题13立体几何中的向量方法-高考数学（理）备考学易黄金易错点Word版含解析.docVIP

1．直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BCA＝90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC＝CA＝CC1，则BM与AN所成角的余弦值为(　　) A.110B.25C.30)10D.2)2 答案　C 解析　方法一　由于∠BCA＝90°，三棱柱为直三棱柱，且BC＝CA＝CC1. 建立如图(1)所示空间直角坐标系．设正方体棱长为2，则可得A(0,0,0)，B(2,2,0)，M(1,1,2)，N(0,1,2)， ∴→＝(1,1,2)－(2,2,0)＝(－1，－1,2)，→＝(0,1,2)． ∴cos〈→，→〉＝BM→)→)BM→)→) ＝－1＋4\r(?－1?2＋?－1?2＋22)×\r(02＋12＋22)＝3\r(6)×\r(5)＝30)10. 2.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点O为线段BD的中点．设点P在线段CC1上，直线OP与平面A1BD所成的角为α，则sinα的取值范围是(　　) A．3)3，1] B．6)3，1] C．6)3，2)3] D．2)3，1] 答案　B 解析　根据题意可知平面A1BD⊥平面A1ACC1且两平面的交线是A1O， 所以过点P作交线A1O的垂线PE， 则PE⊥平面A1BD， 所以∠A1OP或其补角就是直线OP与平面A1BD所成的角α. 设正方体的边长为2， 则根据图形可知直线OP与平面A1BD可以垂直． 3．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P在直线BC1上运动时，有下列三个命题：①三棱锥A－D1PC的体积不变；②直线AP与平面ACD1所成角的大小不变；③二面角P－AD1－C的大小不变．其中真命题的序号是________． 答案　①③ 解析　①中，∵BC1∥平面AD1C，∴BC1上任意一点到平面AD1C的距离相等，所以体积不变，正确；②中，点P在直线BC1上运动时，直线AB与平面ACD1所成角和直线AC1与平面ACD1所成角不相等，所以不正确；③中，点P在直线BC1上运动时，点P在平面AD1C1B中，既二面角P—AD1－C的大小不受影响，所以正确． 4．已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，点E、F分别为BB1、CD的中点，则点F到平面A1D1E的距离为______________． 答案　5)10 解析　以点A为坐标原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图所示， ∴点F到平面A1D1E的距离为 d＝A1F→)|n|＝125＝5)10. 5.如图，直三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1＝AB＝AC＝1，点E，F分别是CC1，BC的中点，AE⊥A1B1，点D为棱A1B1上的点． (1)证明：DF⊥AE； (2)是否存在一点D，使得平面DEF与平面ABC所成锐二面角的余弦值为14)14？若存在，说明点D的位置，若不存在，说明理由． (1)证明　∵AE⊥A1B1，A1B1∥AB，∴AE⊥AB， 又∵AA1⊥AB，AA1?面A1ACC1，AE?面A1ACC1，AA1∩AE＝A， ∴AB⊥面A1ACC1. 又∵AC?面A1ACC1，∴AB⊥AC， 以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系Axyz， 则有A(0,0,0)，E\a\vs4\al\co1(0，1，\f(12))，F\a\vs4\al\co1(\f(112)，0，A1(0,0,1)，B1(1,0,1)， 由(1)可知平面ABC的法向量n＝(0,0,1)． 设平面DEF的法向量为m＝(x，y，z)， 则m·\o(FE→)DF→))＝0， ∵→＝(－12，12，12)，→＝\a\vs4\al\co1(\f(112)，－1， ∴－\f(1112\rc\12)y－z＝0，　即x＝\f(32?1－λ?1＋2λ2?1－λ?)z， 令z＝2(1－λ)，则n＝(3,1＋2λ，2(1－λ))． ∵平面DEF与平面ABC所成锐二面角的余弦值为14)14， ∴|cos〈m，n〉|＝|m·n||m||n|＝14)14， 即|2?1－λ?|\r(9＋?1＋2λ?2＋4?1－λ?2)＝14)14， 解得λ＝12或λ＝74(舍)， ∴当点D为A1B1中点时满足要求． 6．如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，平面ABEF为正方形，AF＝2FD，∠AFD＝90°，且二面角D－AF－E与二面角C－BE－F都是60°. (1)证明：平面ABEF⊥EFDC； (2)求二面角E－BC－A的余弦值． 由(1)知∠DFE为二面角D－AF－E的平面角，故∠DFE＝60°，则DF＝2，DG＝3，可得A(1,4,0)，B(－3,4,0)，E(－3,0,0)，D(0,0，3)． 由已知，AB∥EF，所以AB∥平面EFDC，又平面ABCD∩平面EFDC＝CD，故AB∥CD，CD∥EF， 由BE∥AF，可得BE⊥平面E