专题06函数与导数（第02期）-高考数学（文）备考之百强校大题狂练系列Word版含解析.docVIP

2017届高考数学（文）大题狂练 专题06 函数与导数 1.（本小题满分12分）已知函数. （Ⅰ）试判断函数的零点个数； （Ⅱ）若函数在上为增函数，求整数的最大值. （可能要用的数据：；；） 【答案】（Ⅰ）个；（Ⅱ）； 【解析】 试题分析：（Ⅰ）求其导数判断函数在上为增函数，，，则函数在上有唯一零点；（Ⅱ）函数单调递增等价于恒成立的最小值，利用导数求其最值. 试题解析：（Ⅰ）在上为增函数， 且，故在上为增函数， 又，，则函数在上有唯一零点； （Ⅱ）在上恒成立， 因显然成立在上恒成立， ，的最小值， 由（Ⅰ）可知：在上为增函数，故在上有唯一零点， ，， 则，， 则在为减函数，在为增函数，故时，有最小值. 令，则最小值有， 因，则的最小值大约在之间，故整数的最大值为6. 考点：函数零点个数的判定；利用导数研究函数的单调性. 2. （本小题满分12分）已知函数，曲线在点处的切线与直线垂直（其中为自然对数的底数）． （1）求的解析式及单调递减区间； （2）若存在，使函数成立，求实数的取值范围． 【答案】（1），减区间为和；（2）. 【解析】 试题分析：（1）令解出，得出的解析式，令解出的单调递减区间；（2）由（1）得，分离常数，存在使函数成立，使即可，对进行求导，利用导数判断函数的单调性得到其最小值. 试题解析：（1）函数的定义域为，， 又由题意有：，所以，故． 此时，，由，解得或， 所以函数的单调递减区间为和． （2）因为， 由已知，若存在使函数成立， 则只需满足当时，即可． 又， 则， 若，则在上恒成立， 所以在上单调递增， ， ∴，又∵，∴． 若，则在上单调递减，在上单调递增， 所以在上的最小值是， 又∵，而，所以一定满足条件， 综上所述，的取值范围是． 考点：（1）利用导数研究函数的最值；（2）利用导数研究函数的最值. 【方法点晴】本题主要考查的是利用导数研究函数的单调性、利用导数研究函数的极值、不等式的恒成立和导数的几何意义，属于难题．考查恒成立问题，正确分离参数是关键，也是常用的一种手段．通过分离参数可转化为或恒成立，即或即可，利用导数知识结合单调性求出或即得解. 3. （本小题满分12分）已知函数． （1）若是的极值点，求的极大值； （2）求的范围，使得恒成立． 【答案】（1）；（2）. 【解析】 试题分析：（1） ，列表可得：的极大值为；（2）原命题等价于当时， 恒成立，设，再利用导数工具求得当时，恒成立． 试题解析：（1）（）, ∵是的极值点， ∴，解得， 当时，， 当变化时： 极大值 极小值 ∴的极大值为． （2）要使得恒成立，即时，恒成立， 设， 则． ①当时，由得单调减区间为，由得单调增区间为， ∴，得； ②当时，由得单调减区间为，由得单调增区间为，， 此时，不合题意； ③当时，在上单调递增，此时，不合题意； ④当时，由得单调减区间为，由得单调增区间为，， 此时，不合题意． 综上所述，时，恒成立． 考点：1、函数的极值；2、函数与不等式. 【方法点晴】本题考查函数的极值、函数与不等式，涉及分类讨论思想、数形结合思想和转化化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合性较强，属于较难题型. 利用导数处理不等式问题.在解答题中主要体现为不等式的证明与不等式的恒成立问题.常规的解决方法是首先等价转化不等式，然后构造新函数，利用导数研究新函数的单调性和最值来解决，当然要注意分类讨论思想的应用. 4. （本小题满分12分） 已知函数. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）若且，. （i）求实数的最大值； （ii）证明不等式：. 【答案】（1）；（2）（i）；（ii）证明见解析. 【解析】 试题分析：（1）先求出导函数，再根据，由点斜式可得曲线在点处的切线方程；（2）（i）等价于 ，讨论时、当时两种情况，排除不合题意的的值，即可得实数的最大值，（ii）当时整理得，令，则，进而可证原不等式. 试题解析：（1）由题意且， ∴， 又， ∴在点处的切线方程为即 （2）（i）由题意知， 设， 则， 设， 则， （1）当时，∵，∴， ∴在上单调递增，又， ∴时，，又， ∴，不符合题意. （2）当时，设， ①若，即时，恒成立， 即在恒成立，∴在上单调递减又， ∴时，，，， 时，，，，符合题意. ②若，即时，的对称轴， ∴在上单调递增， ∴时，， ∴， ∴在上单调递增， ∴， 而，∴，不符合题意， 综上所述. （ii）由（i）知时，， 当时整理得， 令，则， ∴， ∴， ∴， 即 考点：1、导数的几何意义；2、利用导数研究函数的单调性、求函数最值以及不等式的证明. 【方法点睛】本题主要考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性、求函数最值以及不等式的证明，属于难题.不等式证明问题是近年高考命题的热点