高等数学电子教案（高教出版社高职高专）第一节　多元函数的概念二元函数的极限和连续性.pptVIP

* 一、多元函数的概念 二、二元函数的极限 三、二元函数的连续性 第九章 多元函数微分学 第一节 多元函数的概念  二元函数的极限和连续性 一、多元函数的概念 1. 二元函数的定义 　设有三个变量 x , y 和 z , 如果当变量 x , y 在一定范围内任意取定一对数值时. 变量 z 按照一定的规律 f , 总有确定的数值与它们对应， 则称 z 是 x , y 的二元函数， 记为 定义 1 自变量 x、 y 的取值范围称为函数的定义域 . 其中 x, y 称为自变量， z 称为因变量． 二元函数在点 ( x0 , y0) 所取得的函数值记为 例 4 以及 n 元函数 u = f (x1 , x2 , ··· , xn)， 类似地， 可以定义三元函数 u = f ( x , y , z ) 　　 多于一个自变量的函数统称为多元函数. 解 　　二元函数的定义域有时是由一条或几条曲线所围成的区域，用 D 表示. 2. 二元函数的定义域 　　　　　　　　　　　　围成区域的曲线称为区域的边界，不包括边界的区域称为开区域. 　 连同边界在内的区域称闭区域， 　 如果一个区域可以被包含在一个以原点为圆心，适当长为半径圆内，则称此区域为有界区域. 求下列函数的定义域 D， 并画出 D 的图形： 应有 解 例 5 所以函数的定义域 D 是以 x = ± 2 , y = ± 3 为边界的矩形闭区域. ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ x y O 3 2 - 3 - 2 (2) 因为要使函数 应有 是有界区域. 所以函数定义域是以原点为圆心的环形区域， ≥ 即 1 x2 + y2 ≤ 4 x y 2 1 O 有意义， 设D 由 y = 1 , x = 2 , y = x 围成. 例 6 ① ② 的不等式组来表示平面区域 D : 求形如 ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ y = x y = 1 x = 2 x y O 1 2 1 2 先做出区域 D 的图形， 直线 y = x , y = 1 交于点 (1 , 1). y = x, y = 2 的交点为(2 , 2). 解 再将 D 投影到 x 轴上， 得到区间 [1 , 2]， 则区域 D 内任一点的横坐标 x ， 在 [1 , 2] 内任取一点 x ， 作平行于 y 轴的直线， 由图可知， 对于所给的 x , D 内对应的纵坐标 y 满足： 满足不等式 , ≤ ≤ ≤ ≤ y = x y = 1 x = 2 x y O 1 2 1 2 ≤ ≤ ≤ ≤ 因此区域 D 用形如 ①的不等式组表示为 若想把 D 用形如 ② 的不等式组表示， 则将 D 投影到