高等数学电子教案（高教出版社高职高专）第四节 三 重 积 分.pptVIP

* *第四节 三 重 积 分 一、三重积分的概念 二、三重积分的累次积分法 第十章　重 积 分 设函数 f (x, y, z) 在空间有界闭区域 ? 上有定义， 定义 将域 ? 任意地分成 n 个子域， 记为 ?vi (i = 1，2，· · ·，n )， 且以 ?vi 表示第 i 个子域的体积， 在 ?vi 上任取一点 (? i , ? i , ? i )， 作和式 如果当子域的最大直径 ? 趋于零时， 该和式极限存在， 则称此极限值为函数 f (x, y, z) 在空间闭区域 ? 上的三重积分. 记作 即 一 、三重积分的概念 其中 f (x, y, z ) 称为被积函数， f (x, y, z )dv 称为被积表达式， dv 称为体积元素， ? 称为积分域， 称为三重积分号. 这时，我们也称函数 f (x, y, z ) 在 ? 上可积. 若函数 f (x, y, z) 在 ? 上连续， 则三重积分 一定存在. 如果 f ( x, y ) = 1， 则 二、三重积分的累次积分法 1. 在直角坐标系中的累次积分法 在空间直角坐标系中， 如果分别用平行于三个坐标面的平面族 x = i，y = j，z = k (i，j，k 为常数) 　去分割空间区域 ?， 　　则除了靠边界上可能出现不规则的子域外， 其余的子域都是长方体. 　　　取一个代表性子域其相邻三棱分别为 dx, dy 和 dz, 则 ? 的体积元素为 定限步骤如下： (1)将空间闭区域 ? 投影到 xy 平面， 得到在 xy 平面上的一个平面闭区域 D ; (2)在 D 上任取一点 (x, y )， 作平行与 z 轴的直线 l， 与边界曲面的交点的竖坐标 z = z1 (x, y ) 和 z = z2(x, y )， 显然 且假定 ≤ ≤ ≤ 那么 在对 z 积分时，我们把 x，y 看成常数， 积出后再在 D 上计算二重积分. 例 1 计算三重积分 其中 ? 是由三个坐标面与平面 x + y + z = 1 所围成的空间区域. 解 画出积分区域 ? 及 ? 在 xy 平面上的投影区域 D， 根据定限示意图， 有 x D O y x + y = 1 x O y x + y + z = 1 D 1 1 1 z (a) (b) = 点 M 竖坐标为 z ， 2. 在柱面坐标系中的计算法 给定空间一点 M ，从点 M 作 xy 坐标面的垂线， 其垂足为 P 如图， 设点 P 的极坐标为 (r, ? )， 那么有序数组 (r , ? , z ) 称为点 M 的柱坐标. 由图可知， 柱坐标与直角坐标的关系是 ≤ ≤ ≤ x y z O M(x,y,z) P(r, ? ) r z ? 柱面坐标系中的体积元素可表示为 计算三重