高等数学电子教案（高教出版社高职高专）第四节　多元复合函数与 隐函数的微分法.pptVIP

* 一、多元复合函数求导法则 二、隐函数的求导公式 第四节 多元复合函数与 隐函数的微分法 第九章 多元函数微分学 一、多元复合函数求导法则 定理 设一元函数 u = ?(x) 与 v = ?(x) 在 x 处均可导， 且为 处有一阶连续偏导数 二元函数 z = f (x , y)在 x 的对应点(u , v) 对 x 的导数存在， 则复合函数 证 给 x 以增量 从而 z = f (u , v) 有全增量 z = f (u , v) 在 (u , v) 偏导数连续，从而知其可微， 根据假设， 所以 且 其中 ① 　　　　　　　　　　　　　则 u ，v 有相应的增量 ?u，?v， 又因一元函数 u 与 v 可导，所以 u 与 v 均连续， 得 于是 并求 时的极限， 因此 再将 ① 式两边除以 则得 例 1 设 求 解 因 则 设函数 z = f (u , v) 可微， 这时，复合函数 z = f [u(x , y), v (x , y)] 对 x 与 y 的偏导数都存在且 而 和 的一阶偏导数都存在， 例 2 设 z = eu cos v， 解 因为 可得 应用两个公式时， 可参考下图 表示 　　　　　　　　　　　　　　　 函数的复合关系和求导的运算途径. z u v x z u v x y 当 z = f (u , v , w ), 其求导公式可参考关系图如下 . z u v w x y 又如 z = f (u , v ) , 则 例 3 求 与 解 于是 因为 所以 式中的 f i 表示 z 对第 i 个中间变量的偏导数 (i = 1 , 2 , 3)， 有了这种记法， 就不一定要明显地写出中间变量 u， v， w . 类似地， 可求得 例 4 设 解 在这个函数的表达式中， 乘法中有复合函数， 所以先用乘法求导公式. 二、隐含数的求导公式 1. 一元隐函数的求导公式 设方程 F (x , y) = 0 确定了函数 y = y(x)， 两端对 x 求导， 得 则 这就是一元 隐函数的求导公式. 例 5 设 求 解 则 由公式得 2. 二元隐函数的求导公式 设方程 F (x , y , z) = 0 确定了隐函数 z = z (x , y), 若 Fx，Fy，Fz 连续， 　两边分别对 x ，y 求导， 得 这就是二元隐函数的求导公式. 所以 *