《创新设计》二轮专题复习全国版数学文科材料专题三数列第2讲　数列求和.docVIP

第2讲　数列求和 高考定位　高考对数列求和的考查主要以解答题的形式出现，通过分组转化、错位相减、裂项相消等方法求数列的和，难度中档偏下. 真 题 感 悟 (2016·山东卷)已知数列{an}的前n项和Sn＝3n2＋8n，{bn}是等差数列，且an＝bn＋bn＋1. (1)求数列{bn}的通项公式； (2)令cn＝（an＋1）n＋1（bn＋2）n.求数列{cn}的前n项和Tn. 解　(1)由题意知，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝6n＋5. 当n＝1时，a1＝S1＝11，符合上式. 所以an＝6n＋5. 设数列{bn}的公差为d， 由a1＝b1＋b2，a2＝b2＋b3，)即11＝2b1＋d，17＝2b1＋3d，) 可解得b1＝4，d＝3.所以bn＝3n＋1. (2)由(1)知cn＝（6n＋6）n＋1（3n＋3）n＝3(n＋1)·2n＋1.. 又Tn＝c1＋c2＋…＋cn. 得Tn＝3×2×22＋3×23＋…＋(n＋1)×2n＋1]. 2Tn＝3×2×23＋3×24＋…＋(n＋1)×2n＋2]. 两式作差，得 －Tn＝3×2×22＋23＋24＋…＋2n＋1－(n＋1)×2n＋2] ＝3×4＋\f(4（1－2n）1－2)－（n＋1）×2n＋2)＝－3n·2n＋2. 所以Tn＝3n·2n＋2. 考 点 整 合 1.数列求和常用方法 (1)分组转化求和：把数列的每一项拆成两项(或多项)，再重新组合成两个(或多个)简单的数列，最后分别求和. (2)错位相减法：适用于各项由一个等差数列和一个等比数列对应项的乘积组成的数列.把Sn＝a1＋a2＋…＋an两边同乘以相应等比数列的公比q，得到qSn＝a1q＋a2q＋…＋anq，两式错位相减即可求出Sn. (3)裂项相消法：即将数列的通项分成两个式子的代数差的形式，然后通过累加抵消中间若干项的方法，裂项相消法适用于形如\f(canan＋1))(其中{an}是各项均不为零的等差数列，c为常数)的数列. 2.数列与不等式的综合问题 主要题型为：证明不等式，或不等式恒成立问题，其解决思路为转化为数列(和)的最值问题，而求最值常用方法为：①作差比较法，利用数列单调性求最值；②放缩法求最值. 热点一　分组转化求和 【例1】(2016·成都诊断)若数列{an}的前n项和为Sn，对任意正整数n都有4an－3Sn＝8. (1)求数列{an}的通项公式； (2)令bn＝(－1)n－14（n＋1）log2an·log2an＋1，求数列{bn}的前n项和Tn. 解　(1)因为4an－3Sn＝8，① 当n≥2时，4an－1－3Sn－1＝8，② ①－②得4an－4an－1－3an＝0，即an＝4an－1， 又a1＝8，∴an＝8·4n－1＝22n＋1. (2)bn＝(－1)n－1·4（n＋1）（2n＋1）·（2n＋3） ＝(－1)n－1·\a\vs4\al\co1(\f(112n＋3). 当n为偶数时， Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn ＝13＋15－15－17＋17＋19－…－12n＋1－12n＋3 ＝13－12n＋3＝2n3（2n＋3）； 当n为奇数时， Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn ＝13＋15－15－17＋17＋19－…＋12n＋1＋12n＋3 ＝13＋12n＋3＝2（n＋3）3（2n＋3）， ∴Tn＝\f(2n3（2n＋3）2（n＋3）3（2n＋3）)，n为奇数. 探究提高　在利用分组求和法求和时，由于数列的各项是正负交替的，所以一般需要对项数n进行讨论，最后再验证是否可以合并为一个公式. 【训练1】(2016·北京卷)已知{an}是等差数列，{bn}是等比数列，且b2＝3，b3＝9，a1＝b1，a14＝b4. (1)求{an}的通项公式； (2)设cn＝an＋bn，求数列{cn}的前n项和. 解　(1)设数列{an}的公差为d，{bn}的公比为q， 由b2＝b1q＝3，b3＝b1q2＝9)得b1＝1，q＝3.) ∴{bn}的通项公式bn＝b1qn－1＝3n－1， 又a1＝b1＝1，a14＝b4＝34－1＝27， ∴1＋(14－1)d＝27，解得d＝2. ∴{an}的通项公式an＝a1＋(n－1)d＝1＋(n－1)×2＝2n－1(n＝1，2，3，…). (2)设数列{cn}的前n项和为Sn. ∵cn＝an＋bn＝2n－1＋3n－1， ∴Sn＝c1＋c2＋c3＋…＋cn ＝2×1－1＋30＋2×2－1＋31＋2×3－1＋32＋…＋2n－1＋3n－1＝2(1＋2＋…＋n)－n＋30×（1－3n）1－3 ＝2×（n＋1）n2－n＋3n－12 ＝n2＋3n－12. 即数列{cn}的前n项和为n2＋3n－12. 热点二　裂项相消法求和 【例2】(2016·兰州5月模拟)设各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，且S