《创新设计》二轮专题复习全国版数学理科材料专题三数列第2讲　数列的求和及应用.docVIP

第2讲　数列的求和及应用 高考定位　高考对数列求和的考查主要以解答题的形式出现，通过分组转化、错位相减、裂项相消等方法求数列的和，难度中档偏下. 真 题 感 悟 (2016·山东卷)已知数列{an}的前n项和Sn＝3n2＋8n，{bn}是等差数列，且an＝bn＋bn＋1. (1)求数列{bn}的通项公式； (2)令cn＝（an＋1）n＋1（bn＋2）n，求数列{cn}的前n项和Tn. 解　(1)由题意知，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝6n＋5， 当n＝1时，a1＝S1＝11，所以an＝6n＋5. 设数列{bn}的公差为d.由a1＝b1＋b2，a2＝b2＋b3，) 即11＝2b1＋d，17＝2b1＋3d，)可解得b1＝4，d＝3，所以bn＝3n＋1. (2)由(1)知，cn＝（6n＋6）n＋1（3n＋3）n＝3(n＋1)·2n＋1. 又Tn＝c1＋c2＋…＋cn，得Tn＝3×2×22＋3×23＋…＋(n＋1)×2n＋1]， 2Tn＝3×2×23＋3×24＋…＋(n＋1)×2n＋2]. 两式作差，得－Tn＝3×2×22＋23＋24＋…＋2n＋1－(n＋1)×2n＋2] ＝3×4＋\f(4（1－2n）1－2)－（n＋1）×2n＋2) ＝－3n·2n＋2，所以Tn＝3n·2n＋2. 考 点 整 合 1.数列求和常用方法 (1)分组转化求和：把数列的每一项拆成两项(或多项)，再重新组合成两个(或多个)简单的数列，最后分别求和. (2)错位相减法：适用于各项由一个等差数列和一个等比数列对应项的乘积组成的数列.把Sn＝a1＋a2＋…＋an两边同乘以相应等比数列的公比q，得到qSn＝a1q＋a2q＋…＋anq，两式错位相减即可求出Sn. (3)裂项相消法：即将数列的通项分成两个式子的代数差的形式，然后通过累加抵消中间若干项的方法，裂项相消法适用于形如\f(canan＋1))(其中{an}是各项均不为零的等差数列，c为常数)的数列. 2.数列中的不等式问题主要有证明数列不等式、比较大小或恒成立问题，解决方法如下： (1)利用数列(或函数)的单调性； (2)放缩法：①先求和后放缩；②先放缩后求和，包括放缩后成等差(或等比)数列再求和，或者放缩后成等差比数列再求和，或者放缩后裂项相消法求和； (3)数学归纳法. 3.数列与不等式的综合问题 主要题型为：证明不等式，或不等式恒成立问题，转化为最值问题是其主要思路，而求最值常用方法为：①作差比较，利用数列单调性求最值；②放缩法求最值. 热点一　数列的求和问题 微题型1]　分组转化求和 【例1－1】 已知单调递增数列{an}的前n项和为Sn，满足Sn＝12(a2n＋n). (1)求数列{an}的通项公式； (2)设cn＝2n＋1\f(1a－13×2an－1＋1，n为偶数，求数列{cn}的前n项和Tn. 解　(1)n＝1时，a1＝12(a21＋1)，得a1＝1， 当n≥2时，Sn－1＝12(a2n－1＋n－1)， 得an＝Sn－Sn－1＝12(a2n－a2n－1＋1)， 化简得(an－1)2－a2n－1＝0， an－an－1＝1或an＋an－1＝1(n≥2)， 又{an}是单调递增数列，故an－an－1＝1， 所以{an}是首项为1，公差为1的等差数列，故an＝n. (2)cn＝2n＋1\f(1a－13×2an－1＋1，n为偶数， 当n为偶数时， Tn＝(c1＋c3＋…＋cn－1)＋(c2＋c4＋…＋cn) ＝\a\vs4\al\co1(\f(111n2－1)＋3×(21＋23＋…＋2n－1)＋n2 ＝11×3＋13×5＋…＋1（n－1）×（n＋1）＋3×n21－4＋n2 ＝12×\a\vs4\al\co1(\f(111111n＋1)＋2×(4n2－1)＋n2 ＝2n＋1＋n2－2n－42（n＋1）. 当n为奇数时， Tn＝(c1＋c3＋…＋cn)＋(c2＋c4＋…＋cn－1) ＝\f(111（n＋1）2－1)＋3×(21＋23＋…＋2n－2)＋n－12 ＝12×\a\vs4\al\co1(\f(111111n＋2)＋2×(4n－12－1)＋n－12 ＝2n＋n2－2n－92（n＋2）. 所以Tn＝2n＋\f(n2－2n－92（n＋2）n2－2n－42（n＋1）)，n为偶数. 探究提高　在利用分组求和法求和时，由于数列的各项是正负交替的，所以一般需要对项数n进行讨论，最后再验证是否可以合并为一个公式. 微题型2]　裂项相消法求和 【例1－2】(2016·湖南八校联考二)设各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，且Sn满足S2n－(n2＋n－3)Sn－3(n2＋n)＝0，n∈N*. (1)求a1的值； (2)求数列{an}的通项公式； (3)证明：对一切正整数n，有1a1（a1＋1）＋1a2（a2＋