《创新设计》二轮专题复习全国版数学理科材料专题二三角函数与平面向量第2讲三角恒等变换与解三角形.docVIP

第2讲　三角恒等变换与解三角形 高考定位　1.三角函数的化简与求值是高考的命题热点，其中同角三角函数的基本关系、诱导公式是解决计算问题的工具，三角恒等变换是利用三角恒等式(两角和与差、二倍角的正弦、余弦、正切公式)进行变换，“角”的变换是三角恒等变换的核心；2.正弦定理与余弦定理以及解三角形问题是高考的必考内容，主要考查边、角、面积的计算及有关的范围问题. 真 题 感 悟 1.(2016·全国Ⅲ卷)若tan α＝34，则cos2α＋2sin 2α＝(　　) A.6425 B.4825 C.1 D.1625 解析　tan α＝34，则cos2α＋2sin 2α＝cos2α＋2sin 2αcos2α＋sin2α＝1＋4tan α1＋tan2α＝6425. 答案　A 2.(2016·全国Ⅱ卷)△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若cos A＝45，cos C＝513，a＝1，则b＝________. 解析　在△ABC中由cos A＝45，cos C＝513，可得sin A＝35，sin C＝1213，sin B＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋cos A·sin C＝6365，由正弦定理得b＝asin Bsin A＝2113. 答案　2113 3.(2015·全国Ⅰ卷)在平面四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝75°，BC＝2，则AB的取值范围是________. 解析　如图所示，延长BA，CD交于点E，则可知在△ADE中，∠DAE＝105°，∠ADE＝45°，∠E＝30°， ∴设AD＝12x，则AE＝2)2x，DE＝6)＋\r(2)4x， 令CD＝m，∵BC＝2， ∴\a\vs4\al\co1(\f(\r(6)＋\r(2)4)x＋m)·sin 15°＝1?6)＋\r(2)4x＋m＝6＋2， ∴0x4，而AB＝6)＋\r(2)4x＋m－2)2x＝6)－\r(2)4x＋m＝6＋2－2)2x， ∴AB的取值范围是(6－2，6＋2). 答案　(6－2，6＋2) 4.(2016·全国Ⅰ卷)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cos C (acos B＋bcos A)＝c. (1)求C； (2)若c＝7，△ABC的面积为3)2，求△ABC的周长. 解　(1)由已知及正弦定理得，2cos C(sin Acos B＋sin Bcos A)＝sin C，2cos Csin(A＋B)＝sin C，故2sin Ccos C＝sin C.可得cos C＝12，所以C＝π3. (2)由已知，12absin C＝3)2，又C＝π3，所以ab＝6，由已知及余弦定理得，a2＋b2－2abcos C＝7，故a2＋b2＝13，从而(a＋b)2＝25.所以△ABC的周长为5＋7. 考 点 整 合 1.三角函数公式 (1)同角关系：sin2α＋cos2α＝1，sin αcos α＝tan α. (2)诱导公式：对于“kπ2±α，k∈Z的三角函数值”与“α角的三角函数值”的关系可按下面口诀记忆：奇变偶不变，符号看象限. (3)两角和与差的正弦、余弦、正切公式： sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β； cos(α±β)＝cos αcos β?sin αsin β； tan(α±β)＝tan α±tan β1?tan αtan β. (4)二倍角公式：sin 2α＝2sin αcos α，cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α. 2.正、余弦定理、三角形面积公式 (1)asin A＝bsin B＝csin C＝a＋b＋csin A＋sinB＋sin C＝2R(R为△ABC外接圆的半径). 变形：a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C；sin A＝a2R，sin B＝b2R，sin C＝c2R；a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sinC. (2)a2＝b2＋c2－2bccos A，b2＝a2＋c2－2accos B，c2＝a2＋b2－2abcos C； 推论：cos A＝b2＋c2－a22bc，cos B＝a2＋c2－b22ac，cos C＝a2＋b2－c22ab； 变形：b2＋c2－a2＝2bccos A，a2＋c2－b2＝2accos B，a2＋b2－c2＝2abcos C. (3)S△ABC＝12absin C＝12acsin B＝12bcsin A. 热点一　三角恒等变换及应用 【例1】 (1)(2015·重庆卷)若tan α＝2tan π5，则\rc\10))\rc\5))＝(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 (2)已知α为锐角，若cos\a\vs4\al\co1(α＋\f(π6))＝35，则cos\a\vs4\al\co1(2α－\