《创新设计》二轮专题复习全国版数学文科材料专题二三角函数与平面向量第3讲平面向量.docVIP

第3讲　平面向量 高考定位　1.以选择题、填空题的形式考查向量的线性运算，多以熟知的平面图形为背景，难度中低档；2.以选择题、填空题的形式考查平面向量的数量积，多考查角、模等问题，难度中低档；3.向量作为工具常与三角函数、解三角形、不等式、解析几何等结合，以解答题形式出现. 真 题 感 悟 1.(2016·全国Ⅲ卷)已知向量→＝\a\vs4\al\co1(\f(1\r(32)，→＝\a\vs4\al\co1(\f(\r(312)，则∠ABC＝(　　) A.30° B.45° C.60° D.120° 解析　|→|＝1，|→|＝1，cos∠ABC＝BA→)→)BA→)→)＝3)2.∵∠ABC∈0°，180°]，∴∠ABC＝30°. 答案　A 2.(2015·广东卷)在平面直角坐标系xOy中，已知四边形ABCD是平行四边形，→＝(1，－2)，→＝(2，1)，则→·→＝(　　) A.5 B.4 C.3 D.2 解析　∵四边形ABCD为平行四边形，∴→＝→＋→＝(1，－2)＋(2，1)＝(3，－1).∴→·→＝2×3＋(－1)×1＝5. 答案　A 3.(2015·重庆卷)已知非零向量a，b满足|b|＝4|a|，且a⊥(2a＋b)，则a与b的夹角为(　　) A.π3 B.π2 C.2π3 D.5π6 解析　因为a⊥(2a＋b)，所以a·(2a＋b)＝2a2＋a·b＝0，即2|a|2＋|a||b|cos〈a，b〉＝0，又|b|＝4|a|，则上式可化为2|a|2＋|a|×4|a|·cos〈a，b〉＝0即2＋4cos〈a，b〉＝0，所以cos〈a，b〉＝－12，又〈a，b〉∈0，π]，即a，b夹角为23π. 答案　C 4.(2016·全国Ⅱ卷)已知向量a＝(m，4)，b＝(3，－2)，且a∥b，则m＝________. 解析　因为a∥b，所以由(－2)×m－4×3＝0，解得m＝－6. 答案　－6 考 点 整 合 1.平面向量的两个重要定理 (1)向量共线定理：向量a(a≠0)与b共线当且仅当存在唯一一个实数λ，使b＝λa. (2)平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2，其中e1，e2是一组基底. 2.平面向量的两个充要条件 若两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 (1)a∥b?a＝λb?x1y2－x2y1＝0. (2)a⊥b?a·b＝0?x1x2＋y1y2＝0. 3.平面向量的三个性质 (1)若a＝(x，y)，则|a|＝a·a＝x2＋y2. (2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 |→|＝（x2－x1）2＋（y2－y1）2. (3)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为a与b的夹角， 则cos θ＝a·b|a||b|1x2＋y1y2\r(x＋y)\r(x＋y). 4.平面向量的三个锦囊 (1)向量共线的充要条件：O为平面上一点，则A，B，P三点共线的充要条件是→＝λ1→＋λ2→(其中λ1＋λ2＝1). (2)三角形中线向量公式：若P为△OAB的边AB的中点，则向量→与向量→，→的关系是→＝12(→＋→). (3)三角形重心坐标的求法：G为△ABC的重心?→＋→＋→＝0?G\a\vs4\al\co1(\f(xA＋xB＋xCyA＋yB＋yC3). 热点一　平面向量的有关运算 微题型1]　平面向量的线性运算 【例1－1】 (1)设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则→＋→＝(　　) A.→ B.12→ C.→ D.12→ (2)已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝120°，点E，F分别在边BC，DC上，BC＝3BE，DC＝λDF.若→·→＝1，则λ的值为________. 解析　(1)如图，→＋→＝－(→＋→) ＝－\a\vs4\al\co1(\f(1BA→)BC→)CA→)CB→)) ＝－\a\vs4\al\co1(\f(1BA→)CA→))＝12(→＋→)＝→，故选C. (2)法一　如图，→＝→＋→＝→＋13→，→＝→＋→＝→＋1λ→＝→＋1λ→ 所以→·→＝\a\vs4\al\co1(\o(AB→)BC→))·\a\vs4\al\co1(\o(BC→)AB→))＝\a\vs4\al\co1(1＋\f(13λ))→·→＋1λ→2＋13→2＝\a\vs4\al\co1(1＋\f(13λ))×2×2×cos 120°＋4λ＋43＝1，解得λ＝2. 法二　建立如图所示平面直角坐标系. 由题意知： A(0，1)，C(0，－1)，B(－3，0)，D(3，0). 由BC＝3BE，DC＝λDF， 可求点E，F的坐标分别为 E\a\vs4\al\