《创新设计》二轮专题复习全国版数学理科材料专题二三角函数与平面向量第3讲平面向量.docVIP

第3讲　平面向量 高考定位　1.以选择题、填空题的形式考查向量的线性运算，多以熟知的平面图形为背景，难度中低档；2.以选择题、填空题的形式考查平面向量的数量积，多考查角、模等问题，难度中低档；3.向量作为工具常与三角函数、解三角形、不等式、解析几何等结合，以解答题形式出现. 真 题 感 悟 1.(2016·北京卷)设a，b是向量，则“|a|＝|b|”是“|a＋b|＝|a－b|”的(　　) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 解析　若|a|＝|b|成立，则以a，b为邻边构成的四边形为菱形，a＋b，a－b表示该菱形的对角线，而菱形的对角线不一定相等，所以|a＋b|＝|a－b|不一定成立；反之，若|a＋b|＝|a－b|成立，则以a，b为邻边构成的四边形为矩形，而矩形的邻边不一定相等，所以|a|＝|b|不一定成立，所以“|a|＝|b|”是“|a＋b|＝|a－b|”的既不充分也不必要条件. 答案　D 2.(2016·山东卷)已知非零向量m，n满足4|m|＝3|n|，cos〈m，n〉＝13.若n⊥(tm＋n)，则实数t的值为(　　) A.4 B.－4 C.94 D.－94 解析　∵n⊥(tm＋n)，∴n·(tm＋n)＝0，即t·m·n＋n2＝0，∴t|m||n|cos〈m，n〉＋|n|2＝0，由已知得t×34|n|2×13＋|n|2＝0，解得t＝－4，故选B. 答案　B 3.(2015·四川卷)设四边形ABCD为平行四边形，|→|＝6，|→|＝4，若点M，N满足→＝3→，→＝2→，则→·→＝(　　) A.20 B. 15 C.9 D.6 解析　→＝→＋34→， →＝→－→＝－14→＋13→ ∴→·→＝14(4→＋3→)·112(4→－3→) ＝148(16→2－9→2)＝148(16×62－9×42)＝9，选C. 答案　C 4.(2016·全国Ⅰ卷)设向量a＝(m，1)，b＝(1，2)，且|a＋b|2＝|a|2＋|b|2，则m＝________. 解析　由|a＋b|2＝|a|2＋|b|2，得a⊥b，所以m×1＋1×2＝0，得m＝－2. 答案　－2 考 点 整 合 1.平面向量的两个重要定理 (1)向量共线定理：向量a(a≠0)与b共线当且仅当存在唯一一个实数λ，使b＝λa. (2)平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2，其中e1，e2是一组基底. 2.平面向量的两个充要条件 若两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 (1)a∥b?a＝λb?x1y2－x2y1＝0. (2)a⊥b?a·b＝0?x1x2＋y1y2＝0. 3.平面向量的三个性质 (1)若a＝(x，y)，则|a|＝a·a＝x2＋y2. (2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 |→|＝（x2－x1）2＋（y2－y1）2. (3)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为a与b的夹角， 则cos θ＝a·b|a||b|1x2＋y1y2\r(x＋y)\r(x＋y). 4.平面向量的三个锦囊 (1)向量共线的充要条件：O为平面上一点，则A，B，P三点共线的充要条件是→＝λ1→＋λ2→(其中λ1＋λ2＝1). (2)三角形中线向量公式：若P为△OAB的边AB的中点，则向量→与向量→，→的关系是→＝12(→＋→). (3)三角形重心坐标的求法：G为△ABC的重心?→＋→＋→＝0?G\a\vs4\al\co1(\f(xA＋xB＋xCyA＋yB＋yC3). 热点一　平面向量的有关运算 微题型1]　平面向量的线性运算 【例1－1】 (1)设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝12AB，BE＝23BC.若→＝λ1→＋λ2→(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________. (2)已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝120°，点E，F分别在边BC，DC上，BC＝3BE，DC＝λDF.若→·→＝1，则λ的值为________. 解析　(1)→＝→＋→＝12→＋23→＝12→＋23(→－→)＝－16→＋23→， ∵→＝λ1→＋λ2→，∴λ1＝－16，λ2＝23， 故λ1＋λ2＝12. (2)法一　如图，→＝→＋→＝→＋13→，→＝→＋→＝→＋1λ→＝→＋1λ→，所以→·→ ＝\a\vs4\al\co1(\o(AB→)BC→))·\a\vs4\al\co1(\o(BC→)AB→))＝\a\vs4\al\co1(1＋\f(13λ))→·→＋1λ→2＋13→2＝\a\vs4\al\co1(1＋\f(13λ))×2×2×cos 120°＋4λ＋43＝1，解得λ＝2. 法