《创新设计》二轮专题复习全国版数学理科材料专题三数列第1讲等差数列、等比数列的基本问题.docVIP

第1讲　等差数列、等比数列的基本问题 高考定位　1.等差、等比数列基本量和性质的考查是高考热点，经常以小题形式出现；2.数列的通项也是高考热点，常在解答题中的第(1)问出现，难度中档以下. 真 题 感 悟 1.(2016·全国Ⅰ卷)已知等差数列{an}前9项的和为27，a10＝8，则a100＝(　　) A.100 B.99 C.98 D.97 解析　由等差数列性质，知S9＝9（a1＋a9）2＝9×2a52＝9a5＝27，得a5＝3，而a10＝8，因此公差d＝a10－a510－5＝1，∴a100＝a10＋90d＝98，故选C. 答案　C 2.(2015·北京卷)设{an}是等差数列，下列结论中正确的是(　　) A.若a1＋a2＞0，则a2＋a3＞0 B.若a1＋a3＜0，则a1＋a2＜0 C.若0＜a1＜a2，则a2＞a1a3 D.若a1＜0，则(a2－a1)(a2－a3)＞0 解析　A，B选项易举反例，C中若0＜a1＜a2，∴a3＞a2＞a1＞0，∵a1＋a32a1a3，又2a2＝a1＋a3，∴2a22a1a3，即a2a1a3成立. 答案　C 3.(2015·全国Ⅱ卷)设Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，则Sn＝____________. 解析　由题意，得S1＝a1＝－1， 又由an＋1＝SnSn＋1， 得Sn＋1－Sn＝SnSn＋1， 所以Sn≠0，所以Sn＋1－SnSnSn＋1＝1， 即1Sn＋1－1Sn＝－1， 故数列\f(1Sn))是以1S1＝－1为首项，－1为公差的等差数列，得1Sn＝－1－(n－1)＝－n，所以Sn＝－1n. 答案　－1n 4.(2016·全国Ⅲ卷)已知数列{an}的前n项和Sn＝1＋λan，其中λ≠0. (1)证明{an}是等比数列，并求其通项公式； (2)若S5＝3132，求λ. (1)证明　由题意得a1＝S1＝1＋λa1，故λ≠1，a1＝11－λ，a1≠0. 由Sn＝1＋λan，Sn＋1＝1＋λan＋1，得an＋1＝λan＋1－λan，即an＋1(λ－1)＝λan，由a1≠0，λ≠0得an≠0，所以an＋1an＝λλ－1. 因此{an}是首项为11－λ，公比为λλ－1的等比数列，于是an＝11－λ\a\vs4\al\co1(\f(λλ－1))n－1. (2)解　由(1)得Sn＝1－\a\vs4\al\co1(\f(λλ－1))n. 由S5＝3132得1－\a\vs4\al\co1(\f(λλ－1))5＝3132，即\a\vs4\al\co1(\f(λλ－1))5＝132. 解得λ＝－1. 考 点 整 合 1.等差数列 (1)通项公式：an＝a1＋(n－1)d， (2)求和公式：Sn＝n（a1＋an）2＝na1＋n（n－1）2d， (3)性质：①若m，n，p，q∈N*，且m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq； ②an＝am＋(n－m)d； ③Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…，成等差数列. 2.等比数列 (1)通项公式：an＝a1qn－1(q≠0)； (2)求和公式：q＝1，Sn＝na1；q≠1，Sn＝a1（1－qn）1－q＝a1－anq1－q； (3)性质：①若m，n，p，q∈N*，且m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq； ②an＝am·qn－m； ③Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…，(Sm≠0)成等比数列. 3.求通项公式的常见类型 (1)观察法：利用递推关系写出前几项，根据前几项的特点观察、归纳、猜想出an的表达式，然后用数学归纳法证明. (2)利用前n 项和与通项的关系an＝S1　　　　（n＝1），Sn－Sn－1（n≥2）.) (3)公式法：利用等差(比)数列求通项公式. (4)累加法：在已知数列{an}中，满足an＋1＝an＋f(n)，把原递推公式转化为an＋1－an＝f(n)，再利用累加法(逐差相加法)求解. (5)叠乘法：在已知数列{an}中，满足an＋1＝f(n)an，把原递推公式转化为an＋1an＝f(n)，再利用叠乘法(逐商相乘法)求解. (6)构造等比数列法：在已知数列{an}中，满足an＋1＝pan＋q(其中p，q均为常数，pq(p－1)≠0)先用待定系数法把原递推公式转化为an＋1－t＝p(an－t)，其中t＝q1－p，再利用换元法转化为等比数列求解. 热点一　等差、等比数列的判定与证明 【例1】(2016·开封二模)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝14，且Sn＝Sn－1＋an－1＋12(n∈N*，且n≥2)，数列{bn}满足：b1＝－1194，且3bn－bn－1＝n(n≥2，且n∈N*). (1)求数列{an}的通项公式； (2)求证：数列{bn－an}为等比数列. (1)解　由Sn＝Sn－1＋an