振动_4课件.pptVIP

* * 提 纲（此次课有机动内容） 1.8 谐振分析(可与波动第五次课合并见“波动_5.ppt”） ? 周期函数的频谱分析与付里叶级数 ? 非周期函数的频谱分析与付里叶变换 ? 简正模 1.9 耦合振子 ? 简正模的叠加 简正模 例题：如何建立方程及求解 例题：边长 、密度 的木块浮在大水槽的表面上，今把木块完全 压入水中，然后放手，如不计水对木块的阻 力，问木块将如何运动？ 木块的运动是平动，所以 可用它上面任一点来描述， 现在我们选Q点来描述木 块的运动。Q不一定是质 心，但整体的平动可用Q 作代表点。 解：选水面上一点O为坐标原点；平衡时， 木块浮在水面，木块上Q点与O 重合。其 顶部至水面距离为 。 由题意： 设木块横截面积为S， 根据阿基米德定律,平衡时： 任一时刻 OQ =x，木块受力 有重力和浮力不相等，其合 力为做简谐振动的恢复力， 称为准弹性力。 设质心与Q的距离为 , 质心的位置 。 其动力学方程即为质心的运动方程： 将质心坐标代入可知从 质心运动过渡到刚体上 任一点平动是等价的。 木块简谐振动 的动力学方程： 得木块的运动方程： 由初始条件：将木块完全压入水中 其中固有角频率： 舍去： 所以： 任何一周期函数都可表示为简谐函数的合成。 也就是说，任何一个复杂的周期振动都可以 分解为一系列简谐振动之和。 称为周期函数 的付里叶级数, 而 和 称为付里叶系数 1.8 谐振分析 ? 周期函数的频谱分析与付里叶级数 这些分振动中频率最低的称为基频振动，它 的频率就是原周期函数的频率，称为基频。 其它分振动的频率都是基频的整数倍，称为谐频。 频谱：以频率为横坐标，以相应的振幅为纵坐标 所作的图解，称为该振动的频谱。 FULIYE FPCAI 频谱分析:周期性振动具有离散谱。 这种将任一振动分解为简谐振动的 方法称为频谱分析。 ? 非周期函数的频谱分析与付里叶变换 任一非周期函数也都可表示为简谐函数的合成： 上式称为非周期函数的付里叶积分。 或是 的付里叶逆变换。 称为非周期函数的 付里叶变换。 非周期振动的频谱是连续谱。波形和频谱互为 付里叶变换，它具有鲜明的物理背景，频谱分 析是研究振动的重要方法之一。 称为非周期函数 的付里叶变换。 二十世纪六十年代以来， 付里叶变换的方法把电子 衍射图形与电子显微成象 有机地结合在一起，为晶 体结构的研究开拓了新的 途径。 1.9 耦合振子 当两个弹簧振子用另一根弹簧联结起来时， 这种系统称为耦合振子。 取弹簧各自的原长处为 坐标零点，则运动方程： 设振子的质量均为 取为正方向 ? 简正模 由这两个方程的结构可看出，每个振子的 加速度都与另一振子的位置有关。 换言之，它们的运动彼此相关联 即两振子之间存在着耦合。 上述两个方程都不是简单的简谐振动方程， 一般来说，即使是两个全同的耦合振子， 每个振子的运动也还是比较复杂的。 首先考虑最简单的运动情况: 取为正方向 即相互耦合的两个全同 振子以相同的频率以及 相同或相反的初相位作 简谐振动。适当选取时 间零点，并假定这里的 “振幅”可以是正的或负 的，则可设: 在这种情况下，任意时刻都有 将它代入式(1)和(2)，可以得到： 这是两个简谐振动方程， 对应的角频率的平方分别 为方括号中所给出的量。 既然两个方程所描写的是 同一振子的运动，这两个 量就应该相等，即： normal mode normal frequency 由此可解得 即 代入上式，即得相应的角频率为： （3） 结论：两个耦合振子可以作不同频率的 下述两种方式的振动，在每种方式的振 动中两振子的振动频率是相同的。 1) 两个振子以相同的振幅和相同的相位振动，均 以 振动。因为中间的弹簧原长不变。 2) 两个振子以相同的振幅和相反的相位振动, 均 以 振动。中间弹簧原长变化。 系统中各个振子以相同的频率作简谐振动 的方式，称为该系统的简正模。 每个简正模所对应的频率，称为简正频率。 简正频率特征在于，系统的每个振子都能以此频率 振动。对于一定的初始条件，这种振子是可实现的。