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《振动力学》 得特征值问题： 可求得 n 个特征值 和 n 特征向量 里兹法改善了瑞利法对基频的估计，还可计算高阶固有频率 n 愈大，计算精度愈高 计算精度也与基函数 的选择有关，通常采用幂函数、三角函数、贝塞尔函数或条件相近的有精确解的梁的模态函数作为基函数 第 i 阶模态函数： 连续系统的振动 / 假设模态法 例：等截面简支梁 梁中部有一集中质量 Ma，大小等于梁的质量 采用里兹法，求：梁的模态函数近似解 Ma 选取无集中质量时的梁的模态函数作为里兹基函数： 解： 基函数满足自然边界条件（两端挠度和弯矩为零） 连续系统的振动 / 假设模态法 离散化强迫振动方程： 模态试函数： 若对第三阶固有频率的精度要求不高，取 n＝3 连续系统的振动 / 假设模态法 模态试函数： 梁的模态函数近似解： 连续系统的振动 / 假设模态法 例：楔形悬臂梁 单位厚度 截面变化 为根部截面积 用里兹法求基频 解： 截面对中性轴的惯性矩： 根部截面对中性轴的惯性矩 取基函数： 可以验证，基函数满足所有位移边界条件和力边界条件 连续系统的振动 / 假设模态法 单位厚度 截面变化 为根部截面积 截面对中性轴的惯性矩： 根部截面对中性轴的惯性矩 基函数： 取 n＝2 质量阵： 刚度阵： 连续系统的振动 / 假设模态法 由： 若取 n＝1： 精确解： 连续系统的振动 / 假设模态法 教学内容 一维波动方程 梁的弯曲振动 集中质量法 假设模态法 模态综合法 有限元法 模态综合法 对于由多个构件组成的复杂系统，很难找到适合于整个系统的假设模态 子结构的划分应使得子结构易于分析，并且对接面尽量缩小，以减少子结构之间的耦合 实际工程问题中低阶模态占主要成分，因此对每个子结构只需要计算少量低阶模态，然后加以综合 对策：将复杂结构分解成若干个较简单的子结构，对每个子结构选定假设模态，然后根据对接面上的位移和力的协调条件，将各个子结构的假设模态综合成总体系统的模态函数 模态综合法 连续系统的振动 / 模态综合法 等截面直角梁的弯曲振动问题 两根梁，长度 l，截面抗弯刚度 EI 梁材料密度 ，截面积 A 处固接 将直角梁分为两个子结构 坐标： 子结构模态的选取：固定界面法，自由界面法 固定界面法：将两子结构的界面 o3 加以固定，使两子结构成为两端固定的直梁 满足几何边界条件的模态函数： 不计梁的纵向振动，界面无横向位移，但界面可自由转动 连续系统的振动 / 模态综合法 当界面 o3 产生单位角位移时，各子结构满足几何边界条件的模态称为约束模态，取为： 满足几何边界条件的模态函数： 梁的横向位移的模态表达式： 界面应满足： 位移协调条件 弯矩协调条件 代入，得约束方程： 连续系统的振动 / 模态综合法 记： 令系统广义坐标： 得： 系统动能： 系统势能： 连续系统的振动 / 模态综合法 系统得动力学方程： 连续系统的振动 / 模态综合法 教学内容 一维波动方程 梁的弯曲振动 集中质量法 假设模态法 模态综合法 有限元法 有限元法 20世纪五六十年代发展起来的方法 吸取了集中质量法与假设模态法的优点 有限元法是目前工程中计算复杂结构广泛使用的方法 每个单元作为弹性体，单元内各点的位移用节点位移的插值函数表示（单元的假设模态） 由于是仅对单元、而非整个结构取假设模态，因此模态函数可取得十分简单，并且可令各个单元的模态相同 将复杂结构分割成有限个单元，单元端点称为节点，将节点的位移作为广义坐标，并将单元的质量和刚度集中到节点上 以杆的纵向振动和梁的弯曲振动为例进行介绍 连续系统的振动 / 有限元法 杆的纵向振动 单元质量矩阵和刚度矩阵的求解 将杆划分为多个单元 取出其中一个单元进行分析 单元长 l，两端节点位移 u1(t)、u2(t) x 位置截面的位移： ：单元假设模态 （形函数） 取为一个节点坐标有单位位移、而其余节点坐标皆为零时，单元的静变形函数 例如： 连续系统的振动 / 有限元法 x 位置截面的位移： 代入，得： 单元动能： 单元质量矩阵 为常数时 ：材料密度 ：截面积 连续系统的振动 / 有限元法 单元势能： 单元刚度矩阵 为常数时 ：弹性模量 f (x, t) 对虚位移 的虚功： ：与节点坐标ue 对应的单元广义力列阵 若轴向力 f (x,t) 为常力 连续系统的振动 / 有限元法 全系统的动力学方程 以上对单元所作的分析必须进行综合，以扩展到总体结构 以一个例子进行说明 杆划分为三个单元 单元质量矩阵： 单元刚度矩阵： 单元坐标 连续系统的振动 / 有限元法 全部节点坐标列阵： 节点坐标约束条件： 只有三个独立 定义独立的广义坐标： 广义坐标列阵： 节点