理学院关于启动大类课程、通识课程课程建设预研-浙江大学数学系.doc

《微积分Ⅰ》课程简介 061B0170 微积分Ⅰ 4.5 CalculusⅠ 4-1 预修课程：无 面向对象：本科一年级，全校除数学专业、文科专业和艺术类专业外的其他专业本科生而开设的数学基础课 内容简介：《微积分》是以函数为研究对象，运用极限手段（如无穷小与无穷逼近等极限过程），分析处理问题的一门数学学科，学时数为80学时。教学内容有：函数极限与连续、一元函数的微分学、一元函数的积分学、无穷级数。 推荐教材或参考书： 《微积分》，苏德矿、吴明华、金蒙伟、杨起帆，高等教育出版社2000年7月； 《微积分》，吴迪光、张彬，浙江大学出版社，1995年7月； 《微积分》，卢兴江、金蒙伟等，浙江大学出版社，2006年7月； 《高等数学》，同济大学数学教研室，高等教育出版社，1999年7月； 《高等数学习题课28讲》，苏德矿、吴明华、卢兴江，浙江大学出版社2005年7月。 《微积分Ⅰ》教学大纲 061B0170 微积分Ⅰ 4.5 CalculusⅠ 4-1 预修课程：无 面向对象：本科一年级，全校除数学专业、文科专业和艺术类专业外的其他专业本科生而开设的数学基础课 一、教学目的与基本要求： 通过本课程的教学，使学生掌握微积分学的基本概念、基本理论、基本方法和具有比较熟练的运算技能，为学习后继课程和进一步获取数学知识奠定必要的数学基础；并使学生受到高等数学的思想方法熏陶和运用它们解决实际问题的基本训练；培养学生具有一定的抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力以及综合运用所学知识进行分析、解决实际问题的能力。 二、主要内容及学时分配：总学时数为80，分一个长学期完成，学分为：4.5。 （一）函数极限与连续（20） 1.（2）函数的概念，函数的表示法。复合函数与反函数的概念，反函数存在定理。函数的单调性、奇偶性、周期性和有界性，基本初等函数的性质与图形，初等函数的概念。 2．（12）数列极限的“”定义，数列极限的基本性质，子数列的概念，收敛数列的子数列性质。单调有界原理，夹逼定理，.函数极限的“”定义与“”定义，单侧极限。函数极限的性质，，， 函数极限与数列极限的关系（不证）。无穷小与无穷大的概念及其关系，无穷小的性质及其阶的比较，符号 ~ 与 ，利用无穷小的等价代换计算极限。 3．（6）函数在一点连续的概念，间断点的分类，单侧连续性。连续函数的四则运算，复合函数的连续性。反函数的连续性（可不证）。初等函数的连续性。利用连续性计算极限。闭区间上连续函数的重要性质：有界性定理、介值定理和最大最小值定理（不 证） （二）一元函数的微分学（22） 1．（6）导数的概念及其几何意义与物理意义，平面曲线的切线与法线，单侧导数。函数的可导与连续的关系。导数的四则运算法则，复合函数与反函数的求导法，初等函数的导数及基本导数公式表。隐函数以及由参数方程所确定的函数的求导法。高阶导数的概念，高阶导数的运算法则及莱布尼兹(Leibniz)公式。 2．（2）微分的概念，几何意义。微分的运算法则及一阶微分形式的不变性。[高阶微分的概念]。利用微分作近似计算。 3．（6）费马(Fermat)定理，罗尔(Rolle)定理，拉格朗日(Lagrange)定理，柯西(Cauchy)定理。求“”型与“”型未定式极限的洛必达(LHospital)法则，其它类型未定式极限的求法。泰勒(Taylor)定理与泰勒公式，泰勒公式的拉格朗日余项及皮亚诺(Peano)余项。五个基本的麦克劳林公式，利用泰勒公式计算极限。 4．（4）函数增减性的判定。函数极值的概念，极值的必要条件与充分条件（极值判定法）。函数最大值和最小值的求法。 5．（4）平面曲线的凹向与拐点及其判定法。曲线的渐近线（水平、铅直及斜）的求法。函数图形描绘。曲率的概念及其计算公式，曲率圆的概念。 （三）一元函数的积分学（22） 1．（8）原函数与不定积分的概念及其几何意义，不定积分的基本性质与运算法则，基本的积分公式表。不定积分的换元积分法与分部积分法。有理函数的积分、三角函数有理式及简单无理函数的积分。 2．（4）定积分的概念，几何意义及物理意义，函数可积的必要条件与充分条件（不证）。定积分的基本性质（包括积分中值定理）。变上限的定积分及其求导定理（微积分基本定理）。原函数存在定理与具有第一类间断点函数的原函数不存在性，牛顿--莱布尼兹(Newton--Leibniz)公式。 3．（2）定积分的换元积分法与分部积分法。 4．（5）定积分的应用：定积分应用的微元分析法，几何应用（平面图形的面积，利用横断面计算立体的体积）与物理应用举例（变力作功，液体的静压力等）。平面曲线的弧长与计算，弧长微分公式。 5．（3）两种广义