第5章同步练习答案.docVIP

、课程同步练习 5.1 向量及其线性运算 5.2空间直角坐标系、向量的坐标表示 一、填空题: 1．平行于的单位向量． 2．，则的方向余弦为 ． 3．一向量的起点为,终点为则在轴、轴、轴上的投影分别是 -2, 1, 8 ， . 二、选择题： 1. 点关于面对称的点的坐标是（ C ） 2. 设互相平行，但方向相反，当时，必有（ A） 下列各组角能为某向量的方向角的是（ A） 三、计算题： 1．设一向量与三个坐标平面的夹角分别为证明 证明：设分别是该向量与三个坐标轴的夹角，则有 由于 所以 即 故 2. 设试将向量表示成的线性组合. 解：设 并且是两两垂直的单位向量，所以 即 . 3. 设是平行四边形，是的中点，与交于点，证明点分别是与的三等分的分点. 证明：依题意，DE和AC交于O点，取OD,OC的中点分别为M,N,连接MN，由于 又四边形是平行四边形， 且E为的中点，故因此四边形构成平行四边形，于是，这样,证得. 5.3 数量积 向量积 混合积 一、填空题: 1．设则 ． 2．设，若则，若//则 . 3. 已知垂直于和，并满足，则 （1，-2，3）． 二、选择题： 1. 下列各式正确的是（ C ） 2. 已知a=i-2j+3k, b=2i+j, c=-i+j+k, 下列说法正确的是（ A ） 3．设为互相垂直的3个非零向量，则向量的模为（ D ） 三、计算题： 1. 设，求． 解： 2. 证明，当a，b不共线时说明该式的几何意义. 证明： 当a，b不共线时，以a，b 为两条邻边作平行四边形，那么本题的结论是平行四边形两对角线的平方和等于它四边的平方和. 设向量试求向量c，使三向量a，b，c构成平行六面体体积最大. 解：分析,据混合积的几何意义，的绝对值恰是上面平行六面体的体积，又确定，所以的绝对值最大只能是 或根据计算式 最大只能是时最大，故 是单位向量，因且， 5.4 平面与空间直线（1） 一、填空题: 1． 过点(4,3,2)，且在各坐标轴上有相同截距的平面方程为． 2． 过点和且平行于轴的平面方程为． 3． 当参数k = ，原点到平面的距离为2． 二、选择题： 1．平面与平面的位置关系是（ A ） (A) 平行但不重合； (B) 重合； (C) 垂直； (D) 斜交. 2. 要求平面平行于yOz，则其系数应满足（B ） 3. 要求直线方程：与x轴重合，则其系数应满足（ A ） 三、计算题： 1. 求过轴且与平面成角的平面方程. 解：依题意设所求平面方程为：其法向量为已知平面的法向量为据两平面的夹角公式得，故所求平面方程有两个： 2. 求与已知平面平行且与三个坐标面所构成的四面体体积为1的平面方程. 解：依题意设所求平面方程为：化成截距式为：得平面在三个坐标轴上的截距为：又所以 所求平面方程为 3. 求过点和，且与平面垂直的平面方程. 解1：依题意设所求平面法向量为，知, ,即 解2：设所求平面方程为：，依题意得： 解之 故所求平面方程为： 5.4 平面与空间直线（2） 一、填空题: 1．过点且平行于轴的直线方程为． 2．直线与平面的交点为 （4，-1,2） ． 3. 过点且与平面及平面的交线平行的直线方程是． 二、选择题： 1．直线与平面的位置关系是（A ） (A) 平行； (B) 直线在平面内； (C) 垂直； (D) 斜交. 2．点到直线的距离是（ B ） (A) 5； (B)； (C) 3； (D) 4. 3.设矩阵是满秩的，则直线与直线 ( C ) (A) 平行但不重合；(B) 重合； (C) 相交于一点； (D) 异面. 三、计算题： 1. 试求空间直线的对称式方程和参数方程． 解：先取一点（0，-4，-9），再求直线的方向向量：所以，直线的对称式为：其参数式方程为 2．求过点且与直线垂直相交的直线方程． 解：将直线化成一般式： 过此直线的平面束方程为： 整理得 再将点代入得 过点与的平面方程是 过点垂直于的平面方程是 故所求直线方程为： 3. 求直线与直线之间的距离. 解：设分别为两直线的方向向量，则过且与平行的平面的法向量为： 故平面的方程为 即 而点（