数学思维方法试题1(答案).docVIP

浙江师范大学《数学思维方法》考试卷 （2011—2012 学年第 1 学期） 考试形式　　　　闭卷　　　　　　　使用学生　小学教育2010级　　　 考试时间　　120　分钟　　　　　 　出卷时间　2011年12月23日　 　说明：考生应将全部答案都写在答题纸上，否则作无效处理。　 选择题 1.把任何问题转化为数学问题，再把数学问题转化为代数问题，最后把代数问题转化为方程求解，这种思维模式在历史上称为“万能代换”。尽管这种方法没有最终实现，但在数学发展史上影响深远。提出“万能代换”思想的数学家是___________。 A.笛卡尔； B.费马； C.牛顿； D.欧拉. 答案：A 2.数学中的非逻辑思维主要有___________、直觉思维、灵感思维、数学想象等。 A.形象思维 B.抽象思维 C.数学判断 D.数学推理 答案：A 3.在中国古代数学中，刘徽的割圆术运用了___________的思想方法获得了圆的面积。 A化归 B变形 C逐次渐进 D数学建模 答案：C 4.设是方程的两个实根，则的最小值是 思路分析本例只有一个答案正确，设了3个陷阱，很容易上当。 利用一元二次方程根与系数的关系易得： ∴ 有的学生一看到，常受选择答案（A）的诱惑，盲从附和。这正是思维缺乏反思性的体现。如果能以反思性的态度考察各个选择答案的来源和它们之间的区别，就能从中选出正确答案。 原方程有两个实根，∴? 当时，的最小值是8； 当时，的最小值是18。 这时就可以作出正确选择，只有（B）正确。 5.在数学建模时，我们常会用到测试分析法，即当我们对研究对象机理不清楚时，就把研究对象视为黑箱系统，以此来分析并建立模型。在一个黑箱系统中，第一次输入的为1，输出为，第二次输入为2，输出为5，第三次输入为3，输出为10，则我们可得出的假设模型是A．； B． C.； D. . 答案：C ABC中，若cn=an+bn(n＞2)，ABC为何种三角形？ 分析 最明显的是，若c2=a2+b2，则△ABC为直角三角形。但现在题目中的n大于2，所以我们一下难以说出结论来。可以先取一些特殊情况考察。 比如，取n=3，a=1，b=2，作出这个三角形的草图，得到一个锐角三角形。观察另外一些特例，发现还是锐角三角形。 进而猜想: 若cn=an+bn(n＞2)，则△ABC为锐角三角形。 证明 在△ABC中，因为cn=an+bn(n＞2)，所以c为△ABC的最大边，为此只需验证C为锐角即可。因为，问题转化为证明: a2+b2＞c2，而该式等价于(a2+b2)cn-2＞cn，因此问题又归为证明 (a2+b2)cn-2-cn＞0 把已知式cn=an+bn代入上式左边，得 (a2+b2)cn-2- an- bn= a2(cn-2-an-2)+ b2(cn-2-bn-2) ＞0，cosC＞0，CABC为锐角三角形。 (此题的解决过程是:取特殊情况实验、观察，作出合情推理，然后再证明。在证明过程中，又多次将问题转化，以达目的。) 计算论证题：用火柴棒按图5-29的方法搭三角形 （1）填写下表： 三角形个数 1 2 3 4 5 火柴棒根数 （2）照这样的规律搭下去，搭n个这样的三角形需要多少要火柴棒？（答案：） 三、简答题：用RMI方法试证三角形ABC的三条高线共点（要求写出解题思路）（12分） 解：解题思路： 利用坐标法将几何问题映射为代数问题。（2分） 以BC为x轴，以BC边上的高AD为y轴建立坐标系。（1分）不失一般性，A、B、C三点的坐标分别为A（0，a），B（b，0），C（c，0），依解析几何知识得到三角形ABC三条边所在直线的斜率分别为：kBC=0，kCA=—a/c，kBA=—a/b。（1分） 三条高所在直线的方程分别是： AD：x=0（1分） BE：cx—ay—bc=0（1分） CF：bx—ay—bc=0（1分） 解方程组，显然三个方程有公共解： x=0，y=—bc/a。（2分） 由代数结论可获得几何解释，即三角形ABC三条高共点。（2分） 1