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双 曲 线 (一)请注意！ 除与椭圆有类同的重点及考点之外，在高考中还经常考查双曲线独有的性质渐近线，以双曲线为载体考查方程、性质，也是高考命题的热点.1．双曲线的定义平面内与两个定点F1、F2的距离之差的绝对值 的点的轨迹叫做双曲线．2．双曲线的标准方程和几何性质(如下表所示)标准方程－＝1(a0，b0)－＝1(a0，b0)图形性质焦点焦距范围对称性顶点轴离心率渐近线3．归纳拓展(1)求双曲线的标准方程时，若不知道焦点的位置，可直接设曲线的方程为Ax2＋By2＝1(AB0)．(2)双曲线的几何性质的实质是围绕双曲线的“六点”(两个焦点、两个顶点、两个虚轴的端点)，“四线”(两条对称轴、两条渐近线)，“两三角形”(中心、焦点以及虚轴端点构成的三角形，双曲线上一点和两端点构成的三角形)研究它们之间的相互关系．(3)与双曲线－＝1(a0，b0)共渐近线的双曲线方程为－＝λ(λ≠0)．(4)与双曲线－＝1(a0，b0)共焦点的圆锥曲线方程为－＝1(λa2，且λ≠－b2)．(5)－＝1(a0，b0)与－＝1(a0，b0)互为共轭双曲线，有相同的渐近线、相等的焦距．(6)双曲线形状与e的关系：k＝＝＝＝，e越大，即渐近线的斜率的绝对值就越大，这时双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔，即双曲线的离心率越大，它的开口就越阔．(7)焦点三角形△PF1F2的面积：S△PF1F2＝b2·cot(∠F1PF2＝θ，b为虚半轴长)．1．(课本习题改编)若双曲线方程为x2－2y2＝1，则它的右焦点坐标为________．2．设双曲线－＝1(a0)的渐近线方程为3x±2y＝0，则a的值为________．3．双曲线－＝1的离心率为，则m等于________．4．设F1，F2是双曲线x2－＝1的两个焦点，P是双曲线上的一点，且3|PF1|＝4|PF2|，则|PF1|＝________.5．已知曲线方程－＝1，若方程表示双曲线，则λ的取值范围是________．例1　(1)在△ABC中，B(4,0)，C(－4,0)，动点A满足条件sinB－sinC＝sinA时，求点A的轨迹方程．(2)设F1、F2为曲线C1：＋＝1的焦点，P是曲线C2：－y2＝1与曲线C1的一个交点，则向量与的夹角的余弦值为(　　)A.　B.C. D．－探究1　容易用错双曲线的定义，将点M的轨迹误认为是整条双曲线，从而得出方程后没有限制条件，故在使用圆锥曲线定义求动点的轨迹方程时，一定要注意定义中的限制条件，同时要结合具体问题的实际背景，对所要解决的问题做合理的限制．思考题1　(1)已知两圆C1：(x＋4)2＋y2＝2，C2：(x－4)2＋y2＝2，动圆M与两圆C1、C2都相切，则动圆圆心M的轨迹方程是(　　)A．x＝0 B.－＝1(x≥)C.－＝1 D.－＝1或x＝0(2)设F1，F2是双曲线C：－＝1(a0，b0)的两个焦点，P是C上一点．若|PF1|＋|PF2|＝6a，且△PF1F2的最小内角为30°，则C的离心率为________．例2　根据下列条件，求双曲线的标准方程．(1)与已知双曲线x2－4y2＝4有共同渐近线且经过点(2,2)；(2)渐近线方程为y＝±x，焦距为10；(3)经过两点P(－3,2)和Q(－6，－7)；(4)双曲线中心在原点，焦点在坐标轴上，离心率为，且过点(4，－)．探究2　求双曲线的标准方程的方法：(1)定义法：由题目条件判断出动点轨迹是双曲线，由双曲线定义，确定2a、2b或2c，从而求出a2、b2，写出双曲线方程．(2)待定系数法：先确定焦点在x轴还是y轴，设出标准方程，再由条件确定a2、b2的值，即“先定型，再定量”，如果焦点位置不好确定，可将双曲线方程设为－＝λ(λ≠0)，再根据条件求λ的值．注意：①双曲线与椭圆标准方程均可记为mx2＋ny2＝1(mn≠0)，其中m0且n0，且m≠n时表示椭圆；mn0时表示双曲线，合理使用这种形式可避免讨论．②常见双曲线设法：(ⅰ)已知a＝b的双曲线设为x2－y2＝λ(λ≠0)；(ⅱ)已知过两点的双曲线可设为Ax2－By2＝1(AB0)；(ⅲ)已知离心率为e的双曲线方程可设为--＝1或－＝1；(ⅳ)已知渐近线±＝0的双曲线方程可设为－＝λ(λ≠0)．思考题2　(1)(2013·广东)已知中心在原点的双曲线C的右焦点为F(3,0)，离心率等于，则C的方程是(　　)A.－＝1 B.－＝1C.－＝1 D.－＝1(2)(2012·天津)已知双曲线C1：－＝1(a0，b0)与双曲线C2：－＝1有相同的渐近线，且C1的右焦点为F(，0)，则a＝________，b＝________.例3　(1)若双曲线－＝1的离心率为，则其渐近线方程为(　　)A．y＝±2x B．y＝±xC．y＝±x D．y＝±x(2)(2013·浙江)如图，