{高考必备]高一数学人教A版必修4学案：3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式（一）Word版含答案(经典).docxVIP

3.1.2　两角和与差的正弦、余弦、正切公式(一)明目标、知重点　1.掌握由两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式及两角和与差的正弦公式.2.会用两角和与差的正弦、余弦公式进行简单的三角函数的求值、化简、计算等.3.熟悉两角和与差的正、余弦公式的灵活运用，了解公式的正用、逆用以及角的变换的常用方法．1．两角和与差的余弦公式C(α－β)：cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ.C(α＋β)：cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ.2．两角和与差的正弦公式S(α＋β)：sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ.S(α－β)：sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ.3．两角互余或互补(1)若α＋β＝，其α、β为任意角，我们就称α、β互余．例如：－α与＋α互余，＋α与－α互余．(2)若α＋β＝π，其α，β为任意角，我们就称α、β互补．例如：＋α与π－α互补，α＋与π－α互补．[情境导学]　从两角差的余弦公式cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ出发，你能推导出两角和与差的三角函数的其他公式吗？探究点一　由公式C(α－β)推导公式C(α＋β)思考　由于公式C(α－β)对于任意α，β都成立，那么把其中的＋β换成－β后，也一定成立．请你根据这种联系，从两角差的余弦公式出发，推导出用任意角α，β的正弦、余弦值表示cos(α＋β)的公式？答　∵α＋β＝α－(－β)，cos(－β)＝cosβ，sin(－β)＝－sinβ，∴cos(α＋β)＝cos[α－(－β)]＝cosαcos(－β)＋sinαsin(－β)＝cosαcosβ－sinαsinβ.即cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ.探究点二　由公式C(α－β)推导公式S(α＋β)及S(α－β)思考　利用诱导公式五(或六)可以实现正弦和余弦的互化，根据这种联系，请你试着从差角的余弦公式出发，推导出用任意角α，β的正弦、余弦值表示sin(α＋β)及sin(α－β)的公式？答　sin(α＋β)＝cos＝cos＝coscosβ＋sinsinβ＝sinαcosβ＋cosαsinβ.即sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ.从而，sin(α－β)＝sin[α＋(－β)]＝sinαcos(－β)＋cosαsin(－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ.探究点三　两角和与差的正弦、余弦公式的应用思考　运用两角和与差的正弦、余弦公式化简、求值要注意灵活进行三角函数名称以及角的变换，善于构造符合某一公式的特征结构后，再运用公式化简、求值．如果题目中存在互余角，要善于发现和利用．例如，化简：sincos－cos·sin.解　原式＝sincos－sin·cos＝sin＝sin＝sincos－cossin＝×－×＝.例1　化简求值：(1)sin(x＋27°)cos(18°－x)－sin(63°－x)sin(x－18°)；(2)(tan10°－)·.解　(1)原式＝sin(x＋27°)cos(18°－x)－cos(x＋27°)·sin(x－18°)＝sin(x＋27°)cos(18°－x)＋cos(x＋27°)sin(18°－x)＝sin[(x＋27°)＋(18°－x)]＝sin45°＝.(2)(tan10°－)＝(tan10°－tan60°)＝＝·＝－＝－2.反思与感悟　解答此类题一般先要用诱导公式把角化正化小，化切为弦统一函数名称，然后根据角的关系和式子的结构选择公式．跟踪训练1　化简求值：(1)sin14°cos16°＋sin76°·cos74°；(2)sin(54°－x)cos(36°＋x)＋cos(54°－x)sin(36°＋x)；(3)sin－cos.解　(1)原式＝sin14°cos16°＋sin(90°－14°)·cos(90°－16°)＝sin14°cos16°＋cos14°sin16°＝sin(14°＋16°)＝sin30°＝.(2)原式＝sin[(54°－x)＋(36°＋x)]＝sin90°＝1.(3)方法一　原式＝2＝2＝－2cos＝－2cos＝－.方法二　原式＝2＝2＝2sin＝－2sin＝－.例2　已知α∈，β∈，且cos(α－β)＝，sinβ＝－，求α的值．解　∵α∈，β∈，∴α－β∈(0，π)．∵cos(α－β)＝，∴sin(α－β)＝.∵β∈，sinβ＝－，∴cosβ＝.∴sinα＝sin[(α－β)＋β]＝sin(α－β)cosβ＋cos(α－β)sinβ＝×＋×＝.又∵α∈，∴α＝.反思与感悟　此类题是给值求角题，步骤如下：(1)求所求角的某一个三角函数值；(2)确定所求角的范围，此类题常犯的错误是对角的范围不加讨论，范围讨论的程度过大或过小，会使求出的角不合题意或者漏解，同时要根据