{高考必备]高一数学北师大版必修4学案：1.4.2单位圆与周期性Word版含答案(经典).docxVIP

4.2　单位圆与周期性【明目标、知重点】　1.掌握正弦、余弦函数的定义域，理解正弦函数、余弦函数都是周期函数.2.会利用正弦、余弦函数的周期性把求任意角的正弦、余弦值转化为求0°～360°的正弦、余弦值．1．三角函数的定义域正弦函数y＝sinx的定义域是R；余弦函数y＝cosx的定义域是R.2．正弦、余弦函数的周期性sin(α＋k·2π)＝sinα，k∈Z；cos(α＋k·2π)＝cosα，k∈Z.由此我们可以得到如下结论：终边相同的角的同一三角函数的值相等．3．周期函数的有关概念(1)周期函数的定义对于函数f(x)，如果存在非零实数T，对定义域内的任意一个x值，都有f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就称为周期函数，T称为这个函数的周期．(2)最小正周期2π是正弦函数、余弦函数正周期中最小的一个，称为最小正周期．[情境导学]　自然界存在许多周而复始的现象，如地球自转和公转，物理学中的单摆运动和弹簧振动，圆周运动等．数学中从正弦函数，余弦函数的定义知，角α的终边每转一周又会与原来的终边重合，也具有周而复始的变化规律，为定量描述这种变化规律，需引入一个新的数学概念——函数周期性．探究点一　利用三角函数求函数定义域思考　任意角的三角函数是在坐标系中定义的，角的范围是使函数有意义的实数集．根据任意角三角函数的定义可知正弦函数y＝sinx的定义域是R；余弦函数y＝cosx的定义域是R；在此基础上，可以求一些简单的三角函数的定义域．例如：(1)函数y＝的定义域为{x|2kπ≤x≤2kπ＋π，k∈Z}．(2)函数y＝lgcosx的定义域为{x|2kπ－x2kπ＋，k∈Z}．例1　求函数f(x)＝＋ln的定义域．解　由题意得，自变量x应满足不等式组　即则不等式组的解的集合如图(阴影部分)所示，∴.反思与感悟　求三角函数定义域时，一般应转化为求不等式(组)的解的问题．利用数轴或三角函数线是解三角不等式常用的方法．解多个三角不等式时，先在单位圆中作出使每个不等式成立的角的范围，再取公共部分．跟踪训练1　求函数f(x)＝lg(3－4sin2x)的定义域．解　∵3－4sin2x0，∴sin2x，∴－sinx.如图所示．∴x∈∪ (k∈Z)．即x∈ (k∈Z)．探究点二　正弦、余弦函数的周期性思考　由任意角的三角函数的定义可以知道，终边相同的角的同一三角函数值相等．由此得到正弦函数和余弦函数的周期性．sin(k·360°＋α)＝sinα，cos(k·360°＋α)＝cosα，k∈Z.或者：sin(2kπ＋α)＝sinα，cos(2kπ＋α)＝cosα，k∈Z.这组公式的作用是将求任意角的三角函数值转化为求0°～360°的三角函数值．例如：sin420°＝；sin(－2070)°＝1；cos(－330°)＝；cos1845°＝.例2　求下列角的三角函数值．(1)cos(－1050°)；(2)cosπ；(3)sin(－π)．解　(1)∵－1050°＝－3×360°＋30°，∴－1050°的角与30°的角终边相同，∴cos(－1050°)＝cos30°＝；(2)∵π＝3×2π＋，∴角π与角的终边相同，∴cosπ＝cos＝；(3)∵－π＝－4×2π＋，∴角－π与角的终边相同，∴sin(－π)＝sin＝.反思与感悟　利用周期性可把负角的三角函数化为0到2π间的三角函数，也可把大于2π的角的三角函数化为0到2π间的三角函数，即实现了“负化正，大化小”．同时要熟记特殊角的三角函数值．跟踪训练2　求下列各式的值．(1)sin＋cosπ＋cos；(2)sin810°＋cos765°－sin1125°＋cos180°＋sin(－2010°)．解　(1)原式＝sin＋cos＋cos＝sin＋cos＋cosπ＝＋＋＝.(2)原式＝sin(2×360°＋90°)＋cos(2×360°＋45°)－sin(3×360°＋45°)＋cos180°＋sin(－6×360°＋150°)＝sin90°＋cos45°－sin45°＋cos180°＋sin150°＝1＋－＋(－1)＋＝.1．sin(－1380°)的值为(　)A．－B.C．－D.答案　D解析　sin(－1380°)＝sin(－360°×4＋60°)＝sin60°＝.2．函数y＝的定义域是．答案　{x|2kπ＋≤x≤2kπ＋π，k∈Z}3．5sin90°＋10cos180°－3sin270°＋4cos420°＝.答案　0解析　原式＝5×1＋10×(－1)－3×(－1)＋4×cos60°＝5－10＋3＋2＝0.4．如图所示．(1)点P的坐标是，点F的坐标是；(2)若点Q的坐标是，那么∠xOQ＝(弧度)，点G的坐标是．答案　　　(2)π　[呈重点、现规律]1．正弦、余弦函数的周期性反映了终边相同的角的三角函数值相等．作用是把求任