{高考必备]高一数学北师大版必修4学案：1.4.3单位圆与诱导公式（一）Word版含答案(经典).docxVIP

4．3　单位圆与诱导公式(一)明目标、知重点　1.了解三角函数的诱导公式的意义和作用.2.理解诱导公式的推导过程.3.能运用有关诱导公式解决一些三角函数的求值、化简和证明问题．1．设α为任意角，π＋α，－α，π－α的终边与α的终边之间的对称关系相关角终边之间的对称关系π＋α与α关于原点对称－α与α关于x轴对称π－α与α关于y轴对称2.诱导公式1.8～1.12公式1.8：sin(2kπ＋α)＝sinα，cos(2kπ＋α)＝cosα；公式1.9：sin(－α)＝－sinα，cos(－α)＝cosα；公式1.10：sin(2π－α)＝－sinα，cos(2π－α)＝cosα；公式1.11：sin(π－α)＝sinα，cos(π－α)＝－cosα；公式1.12：sin(π＋α)＝－sinα，cos(π＋α)＝－cosα.[情境导学]　在前面的学习中，我们知道终边相同的角的同名三角函数相等，即公式1.8，并且利用公式1.8可以把绝对值较大的角的三角函数值转化为0°～360°内的角的三角函数，对于90°～360°内的三角函数我们能否进一步把它们转化到锐角范围内来求解？探究点一　角α与－α的正弦、余弦函数关系思考1　设角α的终边与单位圆的交点为P1(x，y)，如图，角－α的终边与角α的终边有什么关系？－α的终边与单位圆的交点P2坐标如何？答　角－α的终边与角α的终边关于x轴对称．角－α与单位圆的交点为P2(x，－y)．思考2　根据三角函数定义，－α的三角函数与α的三角函数有什么关系？答　sinα＝y，cosα＝x；sin(－α)＝－y＝－sinα；cos(－α)＝x＝cosα.即诱导公式1.9sin?－α?＝－sinα，cos?－α?＝cosα.思考3　诱导公式1.9有何作用？答　将负角的三角函数转化为正角的三角函数．探究点二　角α与π－α的正弦、余弦函数关系思考1　根据角α与π－α与单位圆的交点坐标的关系，你能推出角α与π－α的正弦、余弦函数的关系吗？答　如图，设角α的终边与单位圆相交于P1(x，y)，由于角π－α与α的终边关于y轴对称，因此角π－α的终边与单位圆相交于P2(－x，y)，则sinα＝y，cosα＝x；sin(π－α)＝y＝sinα，cos(π－α)＝－x＝－cosα.即诱导公式1.11sin?π－α?＝sinαcos?π－α?＝－cosα思考2　诱导公式1.11有何作用？答　将第二象限角的三角函数转化为第一象限角的三角函数．探究点三　角α与π＋α的正弦、余弦函数关系思考1　阅读教材17页，说出角α与π＋α的正弦、余弦函数关系．答　sin?π＋α?＝－sinαcos?π＋α?＝－cosα思考2　如何推导思考1中得出的关系式？答　如图，设角α的终边与单位圆交于点P1(x，y)，则角π＋α的终边与单位圆的交点为P2(－x，－y)，下面是根据三角函数定义推导公式的过程．由三角函数的定义得sinα＝y，cosα＝x，又sin(π＋α)＝－y，cos(π＋α)＝－x，∴sin(π＋α)＝－sinα，cos(π＋α)＝－cosα.即诱导公式1.12sin?π＋α?＝－sinαcos?π＋α?＝－cosα思考3　诱导公式1.12有何作用？答　将第三象限角的三角函数转化为第一象限角的三角函数．例1　求下列三角函数的值．(1)sin；(2)cos960°.解　(1)sin＝－sinπ＝－sin(4π＋π)＝－sinπ＝－sin＝－sin＝－.(2)cos960°＝cos(240°＋2×360°)＝cos240°＝cos(180°＋60°)＝－cos60°＝－.反思与感悟　利用诱导公式求三角函数值时，先将不是[0,2π)内的角的三角函数，转化为[0,2π)内的角的三角函数，或先将负角转化为正角后，再用诱导公式化到范围内的角，再求三角函数值．跟踪训练1　求下列三角函数值．(1)sin；(2)cosπ.解　(1)sin＝－sinπ＝－sin(6π＋π)＝－sinπ＝－sin＝sin＝.(2)cosπ＝cos(4π＋π)＝cosπ＝cos＝－cos＝－.例2　化简：.解　原式＝＝＝.反思与感悟　利用诱导公式进行化简，主要是进行角的转化，最终达到角的统一，能求值的要求出值．跟踪训练2　化简：.解　原式＝＝＝＝.例3　已知cos＝，求cos－sin2的值．解　cos－sin2＝cos－sin2＝－cos－＝cos2－cos－1＝2－－1＝－.反思与感悟　对于给值求值问题，要注意观察题目条件中的角与所求问题中的角之间的联系，然后选择恰当的诱导公式进行转化，一般采用代入法求值．跟踪训练3　已知cos(π＋α)＝－，πα2π，求sin(α－3π)＋cos(α－π)的值．解　∵cos(π＋α)＝－cosα＝－，∴cosα＝，∵πα2π，∴α2π，∴sinα＝－