{高考必备]高一数学人教A版必修4学案：3.2简单的三角恒等变换Word版含答案(经典).docxVIP

明目标、知重点　1.能用二倍角公式导出半角公式，体会其中的三角恒等变换的基本思想方法，以及进行简单的应用.2.了解两角和与差的正弦、余弦公式导出积化和差、和差化积公式的基本方法．理解方程思想、换元思想在整个变换过程中所起的作用.3.了解三角恒等变换的特点、变换技巧，掌握三角恒等变换的基本思想方法，能利用三角恒等变换对三角函数式化简、求值以及三角恒等式的证明和一些简单的应用．1．半角公式(1)S：sin＝±；(2)C：cos＝±；(3)T：tan＝±(无理形式)＝＝(有理形式)．2．辅助角公式：使asinx＋bcosx＝sin(x＋φ)＝cos(x－θ)成立时，cosφ＝，sinφ＝，sinθ＝，cosθ＝，其中φ、θ称为辅助角，它的终边所在象限由点(a，b)决定．[情境导学]　三角变换不同于代数式变换，后者往往着眼于式子结构形式的变换，变换内容比较单一．而对于三角变换，不仅要考虑三角函数式结构方面的差异，还要考虑三角函数式所包含的角，以及这些角的三角函数种类方面的差异，它是一种立体的综合性变换．从函数式结构、函数种类、角与角之间的联系等方面找一个切入点，并以此为依据选择可以联系它们的适当公式进行转化变形，是三角恒等变换的重要特点．例如，在二倍角公式中2α是α的二倍，α是的二倍，那么cosα能用的三角函数表示出来吗？反过来，你能用cosα表示出sin2，cos2，tan2吗？探究点一　半角公式的推导思考1　如何用cosα表示sin、cos、tan？答　∵cosα＝cos2－sin2＝1－2sin2，∴2sin2＝1－cosα，∴sin2＝，∴sin＝±；∵cosα＝2cos2－1，∴cos2＝，∴cos＝±；∵tan2＝＝＝，∴tan＝±.小结　以上各公式统称为半角公式(不要求记忆)．思考2　半角公式中根号前面的正负号怎样确定？答　在半角公式中根号前面的正负号由所在的象限来确定．思考3　利用倍角公式，半角的正切公式还可以作如何变形？答　tan＝＝.探究点二　积化和差与和差化积公式的推导思考1　根据两角和与差的正、余弦公式把下列等式补充完整：①sin(α＋β)＋sin(α－β)＝2sin_αcos_β；②sin(α＋β)－sin(α－β)＝2cos_αsin_β；③cos(α＋β)＋cos(α－β)＝2cos_αcos_β；④cos(α＋β)－cos(α－β)＝－2sin_αsin_β.思考2　由上述①～④这四个等式不难得出下列四个对应的积化和差公式，请你试一试写出这四个公式：sinαcosβ＝[sin(α＋β)＋sin(α－β)]；cosαsinβ＝[sin(α＋β)－sin(α－β)]；cosαcosβ＝[cos(α＋β)＋cos(α－β)]；sinαsinβ＝－[cos(α＋β)－cos(α－β)]．思考3　在上述①～④这四个等式中，如果我们令α＋β＝θ，α－β＝φ，则α＝，β＝，由此可以得出四个相应的和差化积公式，请你试一试写出这四个公式：sinθ＋sinφ＝2sincos；sinθ－sinφ＝2cossin；cosθ＋cosφ＝2coscos；cosθ－cosφ＝－2sinsin.探究点三　辅助角公式导引　使asinx＋bcosx＝sin(x＋φ)＝cos(x－θ)成立时，cosφ＝，sinφ＝，sinθ＝，cosθ＝，其中φ、θ称为辅助角，它的终边所在象限由点(a，b)决定．辅助角公式在研究三角函数的性质中有着重要的应用．思考1　将下列各式化成Asin(ωx＋φ)和Acos(ωx－θ)的形式，其中A0，ω0，|φ|，|θ|.sinx＋cosx＝sin＝cos(x－)；sinx－cosx＝sin＝－cos(x＋)；sinx＋cosx＝2sin＝2cos(x－)；sinx－cosx＝2sin＝－2cos(x＋)；sinx＋cosx＝2sin＝2cos(x－)；sinx－cosx＝2sin＝－2cos(x＋)．思考2　请写出把asinx＋bcosx化成Asin(ωx＋φ)形式的过程．答　asinx＋bcosx＝＝(sinxcosφ＋cosxsinφ)＝sin(x＋φ)(其中sinφ＝，cosφ＝)．例1　已知cosα＝，α为第四象限角，求sin、cos、tan的值．解　sin＝±＝±＝±，cos＝±＝±＝±，tan＝±＝±＝±.∵α为第四象限角，∴为第二、四象限角．当为第二象限角时，sin＝，cos＝－，tan＝－；当为第四象限角时，sin＝－，cos＝，tan＝－.反思与感悟　在运用半角公式时，要注意根号前符号的选取，不能确定时，根号前应保持正、负两个符号，而对于tan，还要注意运用公式tan＝＝来求值．跟踪训练1　已知cosθ＝－，且180°θ270°，求tan的值．解　方法一　∵180°θ270°，∴90°135°，∴