{高考必备]高一数学北师大版必修4学案：1.4.3单位圆与诱导公式（二）Word版含答案(经典).docxVIP

4.3　单位圆与诱导公式(二)明目标、知重点　1.掌握诱导公式1.13～1.14的推导，并能应用它解决简单的求值、化简与证明问题.2.对诱导公式1.8～1.14，能作综合归纳，体会出七组公式的共性与个性，培养由特殊到一般的数学推理意识和能力.3.继续体会知识的“发生”、“发现”过程，培养研究问题、发现问题、解决问题的能力．1．诱导公式1.13～1.14(1)公式1.13：sin＝cosα；cos＝－sinα.以－α替代公式1.13中的α，可得公式1.14.(2)公式1.14：sin＝cosα；cos＝sinα.2．诱导公式1.13～1.14的记忆＋α，－α的正(余)弦函数值，等于α的余(正)弦函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，记忆口诀为“函数名改变，符号看象限”．[情境导学]　对形如π－α、－α、π＋α的角的三角函数可以转化为α角的三角函数，对形如－α，＋α的角的三角函数与α角的三角函数，是否也存在着某种关系，需要我们作进一步的探究．探究点一　诱导公式1.13思考1　sin＝cosα，cos＝－sinα.思考2　如何推导上述公式？答　如图所示，设角α的终边与单位圆交于点P(a，b)，角＋α的终边与单位圆交于点P′.由平面几何知识可知：Rt△OPM≌Rt△P′OM′.∴点P′的坐标为(－b，a)．根据任意三角函数的定义可得：sinα＝b，cosα＝a；sin＝a，cos＝－b.∴sin＝cosα，cos＝－sinα.探究点二　诱导公式1.14思考1　sin＝cosα，cos＝sinα.思考2　如何推导上述公式？答　思路一　根据－α＝＋(－α)这一等式，利用诱导公式1.13和诱导公式1.9推导诱导公式1.14.得sin＝sin＝cos(－α)＝cosα；cos＝cos＝－sin(－α)＝sinα.思路二　利用角α与－α的终边关于直线y＝x对称推导诱导公式1.14.设角α与单位圆交于点P(x，y)，则－α与单位圆交于点P′，则点P′的坐标为(y，x)．根据任意角三角函数的定义得：sinα＝y，cosα＝x；sin＝x，cos＝y.∴sin＝cosα，cos＝sinα.例1　已知cos＝，≤α≤，求sin的值．解　∵α＋＝＋，∴sin(α＋)＝sin＝cos＝.反思与感悟　利用诱导公式1.13和诱导公式1.14求值时，要注意沟通已知条件中的角和问题结论中角之间的联系，注意＋α与－α，－α与＋α等互余角关系的识别和应用．跟踪训练1　已知sin＝，求cos的值．解　∵cos＝cos＝cos＝sin＝.探究点三　诱导公式的理解、记忆与灵活应用思考　公式1.8～1.12归纳：α＋2kπ(k∈Z)，－α，π±α的三角函数值，等于角α的同名三角函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，简记为：“函数名不变，符号看象限”．公式1.13～公式1.14归纳：±α的正弦(余弦)函数值，分别等于α的余弦(正弦)函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，简记为：“函数名改变，符号看象限”或“正变余、余变正、符号象限定”．七组诱导公式可以统一概括为“k·±α(k∈Z)”的诱导公式．当k为偶数时，函数名不改变；当k为奇数时，函数名改变；然后前面加一个把α视为锐角时原函数值的符号．记忆口诀为“奇变偶不变，符号看象限”．请你根据上述规律，完成下列等式：sin＝－cosα，cos＝－sinα，sin＝－cosα，cos＝sinα.例2　设m是整数，且k＝4m＋2，若f(sinx)＝sinkx，求证：f(cosx)＝sinkx.证明　f(cosx)＝f[sin(－x)]＝sink(－x)＝sin(－kx)＝sin(2mπ＋π－kx)＝sin(π－kx)＝sinkx.反思与感悟　诱导公式具有变号、变名的作用，当条件和结论之间有悬殊，需要变名才能使用上条件或才能实现目标时，勿忘诱导公式1.13、1.14的作用．跟踪训练2　若f(sinx)＝2－cos2x，求证：f(cosx)＝2＋cos2x.证明　f(cosx)＝f＝2－cos2＝2－cos(π－2x)＝2＋cos2x.例3　求证：＝.证明　∵左边＝＝＝＝＝＝＝右边．∴原式成立．反思与感悟　三角函数恒等式的证明过程多数是化简的过程，一般是化繁为简，可以化简一边，也可以两边都化简，同时注意诱导公式的灵活应用，避免出现符号错误．另外，本例用到公式sin2α＋cos2α＝1在前面已经证明过，对公式可以逆用和变用．跟踪训练3　已知f(α)＝.(1)化简f(α)；(2)若α是第三象限角，且cos(α－π)＝，求f(α)的值．解　(1)f(α)＝＝－cosα.(2)∵cos(α－π)＝cos＝cos＝－sinα＝，∴sinα＝－，又α是第三象限角，∴cosα＝－＝－＝－，∴f(α)＝－cosα＝.1．已