{高考必备]高一数学北师大版必修4学案：1.5.3正弦函数的性质Word版含答案(经典).docxVIP

5.3　正弦函数的性质明目标、知重点　1.理解并掌握正弦函数的定义域、值域、周期性、最大(小)值、单调性、奇偶性；2.能熟练运用正弦函数的性质解一些简单问题．1．正弦函数的性质函数y＝sinx定义域R值域[－1,1]奇偶性奇函数周期性2π为最小正周期单调性当x∈[2kπ－，2kπ＋](k∈Z)时，递增；当x∈[2kπ＋，2kπ＋π](k∈Z)时，递减最大值与最小值当x＝2kπ＋(k∈Z)时，最大值为1；当x＝2kπ－(k∈Z)时，最小值为－12.正弦函数y＝sinx的图像关于点(kπ，0)(k∈Z)中心对称，关于直线x＝kπ＋(k∈Z)轴对称．[情境导学]　我们在数学必修1中已经学过一些函数，并掌握了讨论一个函数性质的几个角度，你还记得有哪些吗？在上一次课中，我们已经学习了正弦函数y＝sinx在R上的图像，下面请同学们根据图像一起讨论一下它具有哪些性质？探究点一　正弦函数的周期思考1　如果非零常数T是函数y＝f(x)的一个周期，那么kT(k∈Z且k≠0)都是函数y＝f(x)的周期．在周期函数y＝f(x)的所有周期中，如果存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫作函数y＝f(x)的最小正周期．正弦函数y＝sinx的最小正周期是2π.证明函数的最小正周期常用反证法．下面是利用反证法证明2π是正弦函数y＝sinx的最小正周期的过程．请你补充完整．证明：(反证法)由于2π是y＝sinx的一个周期，设T也是正弦函数y＝sinx的一个周期，且0T2π，根据周期函数的定义，当x取定义域内的每一个值时，都有sin(x＋T)＝sinx.令x＝，代入上式，得sin＝sin＝1，又sin＝cosT，所以cosT＝1.另一方面，当T∈(0,2π)时，cosT1，这与cosT＝1矛盾．故2π是正弦函数y＝sinx的最小正周期．思考2　函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的最小正周期是多少？答　由诱导公式1.8知：对任意x∈R，都有Asin[(ωx＋φ)＋2π]＝Asin(ωx＋φ)，所以Asin[ω(x＋)＋φ]＝Asin(ωx＋φ)，即f(x＋)＝f(x)，所以f(x)＝Asin(ωx＋φ)(ω≠0)是周期函数，就是它的一个周期．由于x至少要增加个单位，f(x)的函数值才会重复出现，因此，是函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的最小正周期．例1　求下列函数的周期．(1)y＝sin (x∈R)；(2)y＝|sin2x| (x∈R)．解　(1)方法一　令z＝2x＋，∵x∈R，∴z∈R，函数f(x)＝sinz的最小正周期是2π，就是说变量z只要且至少要增加到z＋2π，函数f(x)＝sinz(z∈R)的值才能重复取得，而z＋2π＝2x＋＋2π＝2(x＋π)＋，所以自变量x只要且至少要增加到x＋π，函数值才能重复取得，从而函数f(x)＝sin (x∈R)的周期是π.方法二　f(x)＝sin的周期为＝π.(2)作出y＝|sin2x|的图像．由图像可知，y＝|sin2x|的周期为.反思与感悟　对于形如函数y＝Asin(ωx＋φ)，ω≠0的周期求法常直接利用T＝来求解，对于y＝|Asinωx|的周期情况常结合图像来求解．跟踪训练1　求下列函数的周期．(1)y＝cos；(2)y＝.解　(1)y＝－sinx，T＝＝3π.(2)y＝，T＝×＝2π.探究点二　正弦函数的奇偶性导引　如图，由正弦曲线很容易看出正弦函数的定义域是实数集R，值域是[－1,1]．思考1　观察正弦曲线的对称性，你有什么发现？答　正弦函数y＝sinx的图像关于原点对称；思考2　上述对称性反映出正弦函数具有什么性质？如何从理论上加以验证？答　正弦函数是R上的奇函数．根据诱导公式得，sin(－x)＝－sinx均对一切x∈R恒成立．例2　判断下列函数的奇偶性．(1)f(x)＝sin；(2)f(x)＝lg(1－sinx)－lg(1＋sinx)；(3)f(x)＝.解　(1)显然x∈R，f(x)＝cosx，f(－x)＝cos＝cosx＝f(x)，∴f(x)是偶函数．(2)由，得－1sinx1.解得定义域为.∴f(x)的定义域关于原点对称．又∵f(x)＝lg(1－sinx)－lg(1＋sinx)∴f(－x)＝lg[1－sin(－x)]－lg[1＋sin(－x)]＝lg(1＋sinx)－lg(1－sinx)＝－f(x)．∴f(x)为奇函数．(3)∵1＋sinx≠0，∴sinx≠－1，∴x∈R且x≠2kπ－，k∈Z.∵定义域不关于原点对称，∴该函数是非奇非偶函数．反思与感悟　判断函数奇偶性，要先判断函数的定义域是否关于原点对称，定义域关于原点对称是函数为奇函数或偶函数的前提条件，然后再判断f(－x)与f(x)之间的关系．跟踪训练2　判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝cos＋x2sinx；(2)f(x)＝＋.解　(1)f