{高考必备]高一数学北师大版必修4学案：1.6余弦函数的图像与性质Word版含答案(经典).docxVIP

明目标、知重点　1.会用“五点法”作余弦函数的图像.2.理解余弦函数的性质，会求余弦函数的周期、单调区间及最值． 1．余弦函数y＝cos x(x∈R)的图像叫作余弦曲线．y＝cos x，x∈[0,2π]的图像上起关键作用的五个点为(0,1)，(，0)，(π，－1)，(π，0)，(2π，1)．2．余弦函数的性质函数y＝cos x定义域R值域[－1,1]奇偶性偶函数周期性2π为最小正周期单调性当x∈[2kπ－π，2kπ](k∈Z)时，递增；当x∈[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)时，递减最大值与最小值当x＝2kπ(k∈Z)时，最大值为1；当x＝2kπ＋π(k∈Z)时，最小值为－1[情境导学]　由于余弦曲线可以看作是由正弦曲线向左平移个单位得到，因此余弦函数的性质和正弦函数的性质非常相似．处理余弦函数的问题时注意类比正弦函数的研究方法．探究点一　五点法作余弦曲线导引　y＝cos x，x∈[0,2π]可以通过描出(0,1)，，(π，－1)，，(2π，1)五个关键点，再用光滑曲线将它们连接起来，就可以得余弦函数的简图．思考　请你在下面所给的坐标系中画出y＝cos x，x∈[0,2π]的图像．答例1　画出y＝cos x(x∈R)的简图，并根据图像写出：(1)y≥时x的集合；(2)－≤y≤时x的集合．解　用“五点法”作出y＝cos x的简图．(1)过(0，)点作x轴的平行线，从图像中看出：在[－π，π]区间与余弦曲线交于(－，)，(，)点，在[－π，π]区间内，y≥时，x的集合为{x|－≤x≤}．当x∈R时，若y≥，则x的集合为{x|－＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z}．(2)过(0，－)、(0，)点分别作x轴的平行线，从图像中看出它们分别与余弦曲线交于(－＋2kπ，－)，k∈Z，(＋2kπ，－)，k∈Z点和(－＋2kπ，)，k∈Z，(＋2kπ，)，k∈Z点，那么曲线上夹在对应两直线之间的点的横坐标的集合即为所求，即当－≤y≤时x的集合为：{x|－＋2kπ≤x≤－＋2kπ或＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z}．反思与感悟　利用三角函数的图像或三角函数线，可解简单的三角函数不等式，但需注意解的完整性．跟踪训练1　求函数f(x)＝lg cos x＋的定义域．解　由题意，得x满足不等式组，即，作出y＝cos x的图像，如图所示．结合图像可得：x∈∪∪.探究点二　余弦函数的奇偶性、单调性导引　(1)从余弦曲线可以看出余弦函数y＝cos x的定义域是R，值域是[－1,1]．(2)余弦曲线关于y轴对称，由诱导公式可知cos(－x)＝cos x，所以说余弦函数是偶函数．思考1　观察余弦曲线，余弦函数是否存在最大值和最小值？若存在，其最大值和最小值分别为多少？答　余弦函数存在最大值和最小值，分别是1和－1.思考2　当自变量x分别取何值时，余弦函数y＝cos x取得最大值1和最小值－1?答　对于余弦函数y＝cos x，x∈R有：当且仅当x＝2kπ，k∈Z时，取得最大值1；当且仅当x＝(2k＋1)π，k∈Z时，取得最小值－1.思考3　观察余弦曲线，余弦函数在哪些区间上是增函数？在哪些区间上是减函数？如何将这些单调区间进行整合？答　余弦函数是周期函数，且周期是2π，首先研究它在一个周期区间上函数值的变化情况，再推广到整个定义域．函数y＝cos x，x∈[－π，π]的图像如图所示：观察图像可知：当x∈[－π，0]时，曲线逐渐上升，是增函数，cos x的值由－1增大到1；当x∈[0，π]时，曲线逐渐下降，是减函数，cos x的值由1减小到－1.推广到整个定义域可得：当x∈[2kπ－π，2kπ]，k∈Z时，余弦函数y＝cos x是增函数，函数值由－1增大到1；当x∈[2kπ，(2k＋1)π]，k∈Z时，余弦函数y＝cos x是减函数，函数值由1减小到－1.例2　求函数y＝log(cos 2x)的增区间．解　由题意得cos 2x0且y＝cos 2x递减．∴x只须满足：2kπ2x2kπ＋，k∈Z.∴kπxkπ＋，k∈Z.∴y＝log(cos 2x)的增区间为，k∈Z.反思与感悟　用正弦函数或余弦函数的单调性比较大小时，应先将异名化同名，把不在同一单调区间内的角用诱导公式转化到同一单调区间，再利用单调性来比较大小．跟踪训练2　比较下列各组数的大小．(1)－sin 46°与cos 221°；(2)cos与cos.解　(1)－sin 46°＝－cos 44°＝cos 136°，cos 221°＝－cos 41°＝cos 139°.∵180°139°136°0°，且y＝cos x在[0°，180°]上递减，∴cos 139°cos 136°，即－sin 46°cos 221°.(2)cos＝cos π＝cos(4π＋π)＝cos π，cos＝cos π＝cos＝cos .∵0ππ，且y＝