{高考必备]高一数学北师大版必修4学案：1.3弧度制Word版含答案(经典).docxVIP

明目标、知重点　1.理解角度制与弧度制的概念，能对弧度和角度进行正确的转换.2.体会引入弧度制的必要性，建立角的集合与实数集的一一对应关系.3.掌握并能应用弧度制下的弧长公式和扇形面积公式．1．度量角的单位制(1)角度制用度作为单位来度量角的单位制，叫作角度制．规定1度的角等于周角的.(2)1弧度的角在以单位长为半径的圆中，单位长度的弧所对的圆心角为1弧度的角，它的单位符号是rad，读作弧度．(3)弧度制以弧度作为单位来度量角的单位制，叫作弧度制．(4)角的弧度数的规定一般地，任一正角的弧度数都是一个正数；任一负角的弧度数都是一个负数；零角的弧度数是0.如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那么，角α的弧度数的绝对值满足|α|＝.这里，弧度数α的正负由角α的终边的旋转方向决定．2．角度制与弧度制的换算(1)角度化弧度弧度化角度360°＝2πrad2πrad＝360°180°＝πradπrad＝180°1°＝rad≈0.01745rad1rad＝°≈57.30°＝57°18′(2)一些特殊角的度数与弧度数的对应关系度数0°1°30°45°60°90°弧度数0度数120°135°150°180°270°360°弧度数π2π3.扇形的弧长及面积公式设扇形的半径为r，弧长为l，α(0α2π)为其圆心角，则度量单位类别α为角度制α为弧度制扇形的弧长l＝l＝|α|·r扇形的面积S＝S＝l·r＝α·r2[情境导学]　初中几何研究过角的度量，规定周角的作为1°的角．我们把用度作为单位来度量角的制度叫作角度制，在角度制下，当两个带着度、分、秒各单位的角相加、相减时，由于运算进制不是十进制，总给我们带来不少困难．那么我们能否重新选择角的单位制，使在该单位制下两角的加减运算与十进制下的加减法运算一样呢？今天我们就来研究这种新单位制—弧度制．探究点一　弧度制思考1　1弧度的角是怎样规定的？1弧度的角和圆半径的大小有关吗？你能作出一个1弧度的角吗？答　在以单位长为半径的圆中，单位长度的弧所对的圆心角为1弧度的角.1弧度的角是一个定值，与所在圆的半径无关．如图所示，∠AOB就是1弧度的角．思考2　如果一个半径为r的圆的圆心角α所对的弧长是l，那么α的弧度数与l、r之间有着怎样的关系？请你完成下表，找出某种规律.AB的长OB旋转的方向∠AOB的弧度数∠AOB的度数0没旋转00°r顺时针方向－－90°πr逆时针方向π180°2πr顺时针方向－2π－360°逆时针方向1°r逆时针方向1°2r顺时针方向－2－°规律：如果一个半径为r的圆的圆心角α所对的弧长为l，那么α的弧度数的绝对值是，即|α|＝.思考3　除了角度制，数学中还常用弧度制表示角．请叙述一下弧度制的内容．答　一般地，任一正角的弧度数都是一个正数，任一负角的弧度数都是一个负数，零角的弧度数是0.如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那么，角α的弧度数的绝对值是|α|＝.这里，弧度数α的正负由角α的终边的旋转方向决定．例1　(1)把67°30′化成弧度；(2)把－化成角度．解　(1)∵67°30′＝°，∴67°30′＝rad×67＝πrad.(2)－＝－×°＝－105°.反思与感悟　将角度转化为弧度时，要把带有分、秒的部分化为度之后，牢记πrad＝180°即可求解．把弧度转化为角度时，直接用弧度数乘以°即可．跟踪训练1　将下列角按要求转化：(1)300°＝________rad；(2)－22°30′＝________rad；(3)＝________度．答案　(1)　(2)－　(3)288探究点二　弧度制下的弧长公式和扇形面积公式思考　我们已经学习过角度制下的弧长公式和扇形面积公式，请根据“一周角(即360°)的弧度数为2π”这一事实化简上述公式．(设半径为r，圆心角弧度数为α)．答　半径为r，圆心角为n的扇形弧长公式为l＝，扇形面积公式为S扇＝.∵＝，∴l＝|α|r.∵＝＝，∴S扇＝|α|r2.∴S扇＝|α|r2＝lr.例2　已知一扇形的周长为40cm，当它的半径和圆心角取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？解　设扇形的圆心角为θ，半径为r，弧长为l，面积为S，则l＋2r＝40，∴l＝40－2r.∴S＝lr＝×(40－2r)r＝20r－r2＝－(r－10)2＋100.∴当半径r＝10cm时，扇形的面积最大，最大值为100cm2，此时θ＝＝rad＝2rad.∴当扇形的圆心角为2rad，半径为10cm时，扇形的面积最大为100cm2.反思与感悟　灵活运用扇形弧长公式、面积公式列方程组求解是解决此类问题的关键，有时运用函数思想、转化思想解决扇形中的有关最值问题，将扇形面积表示为半径的函数，转化为r的二次函数的最值问题．跟踪训练2　一个扇形的面积为1，周长为4，求圆心角的弧度数．解　设扇形的