{高考必备]高一数学人教A版必修4学案：3.1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式Word版含答案(经典).docxVIP

3.1.3　二倍角的正弦、余弦、正切公式明目标、知重点　1.会从两角和的正弦、余弦、正切公式导出二倍角的正弦、余弦、正切公式.2.能熟练运用二倍角的公式进行简单的恒等变换，并能灵活地将公式变形运用．1．倍角公式(1)S2α：sin2α＝2sinαcosα，sincos＝sinα；(2)C2α：cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；(3)T2α：tan2α＝.2．倍角公式常用变形(1)＝cosα，＝sinα；(2)(sinα±cosα)2＝1±sin2α；(3)sin2α＝，cos2α＝；(4)1－cosα＝2sin2,1＋cosα＝2cos2.[情境导学]　在教材3.1.2例4(2)中，若将题目改为cos20°cos70°＋sin20°sin70°，你还能利用诱导公式将70°换为20°吗？当然能换！换出的结果是cos20°sin20°＋sin20°cos20°＝2sin20°cos20°.那么，利用我们已经学习的公式，能否将2sin20°cos20°进一步化简呢？显然，利用我们已经学习的两角和与差的正弦、余弦、正切公式已不能对2sin20°cos20°做进一步的化简，这就使得我们有必要进一步扩展三角函数公式的“阵营”，以便于我们解决类似的问题．探究点一　二倍角的正弦、余弦、正切公式的推导思考1　二倍角的正弦、余弦、正切公式就是用α的三角函数表示2α的三角函数的公式．根据前面学过的两角和与差的正弦、余弦、正切公式．你能推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式吗？试一试？答　sin2α＝sin(α＋α)＝sinαcosα＋cosαsinα＝2sinαcosα；cos2α＝cos(α＋α)＝cosαcosα－sinαsinα＝cos2α－sin2α；tan2α＝tan(α＋α)＝.思考2　根据同角三角函数的基本关系式sin2α＋cos2α＝1，你能否只用sinα或cosα表示cos2α？答　∵cos2α＝cos2α－sin2α＝cos2α－(1－cos2α)＝2cos2α－1；或cos2α＝cos2α－sin2α＝(1－sin2α)－sin2α＝1－2sin2α.探究点二　余弦的二倍角公式的变形形式及应用思考　余弦的二倍角公式是否有其他变形？答　二倍角的余弦公式cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α变形较多，应用灵活．其中sin2α＝，cos2α＝称作降幂公式，＝sin2，＝cos2称作升幂公式．这些公式在统一角或函数名时非常有用．练习1：函数f(x)＝sinxcosx＋cos2x－的最小正周期是．答案　π解析　∵f(x)＝sin2x＋(2cos2x－1)＝sin2x＋cos2x＝sin，∴T＝＝π.练习2：函数f(x)＝cos2x＋4sinx的值域是．答案　[－5,3]解析　f(x)＝cos2x＋4sinx＝1－2sin2x＋4sinx＝－2sin2x＋4sinx＋1＝－2(sinx－1)2＋3.当sinx＝1时，f(x)max＝3；当sinx＝－1时，f(x)min＝－5.探究点三　三倍角公式的推导思考　因为3α＝2α＋α，可以借助二倍角公式推导出三倍角公式．请完成三倍角公式的证明：(1)sin3α＝3sinα－4sin3α；(2)cos3α＝4cos3α－3cosα.答　证明如下：(1)sin3α＝sin(2α＋α)＝sin2αcosα＋cos2αsinα＝2sinαcos2α＋(1－2sin2α)sinα＝2sinα(1－sin2α)＋(1－2sin2α)sinα＝2sinα－2sin3α＋sinα－2sin3α＝3sinα－4sin3α.(2)cos3α＝cos(2α＋α)＝cos2αcosα－sin2αsinα＝(2cos2α－1)cosα－2sin2αcosα＝(2cos2α－1)cosα－2(1－cos2α)cosα＝2cos3α－cosα－2cosα＋2cos3α＝4cos3α－3cosα.例1　已知sin2α＝，α，求sin4α，cos4α，tan4α的值．解　由α，得2απ.又因为sin2α＝，cos2α＝－＝－＝－.于是sin4α＝2sin2αcos2α＝2××＝－；cos4α＝1－2sin22α＝1－2×2＝；tan4α＝＝＝－.反思与感悟　解答此类题目一方面要注意角的倍数关系；另一方面要注意函数名称的转化方法，同角三角函数关系及诱导公式是常用方法．跟踪训练1　求值：(1)cos20°·cos40°·cos80°；(2)tan70°·cos10°·(tan20°－1)．解　(1)原式＝＝＝＝＝.(2)原式＝·cos10°·＝·cos10°·＝·cos10°·2＝·(sin20°cos30°－cos20°sin30°)＝＝＝－1.例2　求证：＝tan