{高考必备]高一数学人教A版必修4学案：3.1.1两角差的余弦公式Word版含答案(经典).docxVIP

3．1.1　两角差的余弦公式明目标、知重点　1.了解两角差的余弦公式的推导过程.2.理解用向量法导出公式的主要步骤.3.熟记两角差的余弦公式的形式及符号特征，并能利用该公式进行求值、计算．两角差的余弦公式C(α－β)：cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ，其中α、β为任意角．[情境导学]　我们在初中时就知道cos45°＝，cos30°＝，由此我们能否得到cos15°＝cos(45°－30°)＝？大家可以猜想，是不是等于cos45°－cos30°呢？根据我们在第一章所学的知识可知我们的猜想是错误的！下面我们就一起探讨两角差的余弦公式cos(α－β)＝？探究点一　两角差余弦公式的探索思考1　有人认为cos(α－β)＝cosα－cosβ，你认为正确吗，试举两例加以说明．答　不正确．例如：当α＝，β＝时，cos(α－β)＝cos＝，而cosα－cosβ＝cos－cos＝－，cos(α－β)≠cosα－cosβ；再如：当α＝，β＝时，cos(α－β)＝cos＝，而cosα－cosβ＝cos－cos＝，cos(α－β)≠cosα－cosβ.思考2　请你计算下列式子的值，并根据这些式子的共同特征，写出一个猜想．①cos45°cos45°＋sin45°sin45°＝1＝cos0°；②cos60°cos30°＋sin60°sin30°＝＝cos30°；③cos30°cos120°＋sin30°sin120°＝0＝cos(－90°)；④cos150°cos210°＋sin150°sin210°＝＝cos(－60°)．猜想：cosαcosβ＋sinαsinβ＝cos(α－β)；即：cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ.探究点二　两角差余弦公式的证明如图，以坐标原点为中心，作单位圆，以Ox为始边作角α与β，设它们的终边分别与单位圆相交于点P，Q，请回答下列问题：(1)P点坐标是(cosα，sinα)，向量＝(cosα，sinα)，||＝1.Q点坐标是(cosβ，sinβ)，向量＝(cosβ，sinβ)，||＝1.(2)当α为钝角，β为锐角时，α－β和向量与的夹角〈，〉之间的关系是：α－β＝〈，〉；当α为锐角，β为钝角时，α－β和向量与的夹角〈，〉之间的关系是：α－β＝－〈，〉；当α，β均为任意角时，α－β和〈，〉的关系是：α－β＝2kπ±〈，〉，k∈Z.(3)向量与的数量积·＝||||·cos〈，〉＝cos(α－β)；另一方面，与的数量积用点坐标形式表示：·＝(cosα，sinα)·(cosβ，sinβ)＝cosαcosβ＋sinαsinβ.从而，对任意角α，β均有cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ.探究点三　两角差余弦公式的应用思考1　若已知α＋β和β的三角函数值，如何求cosα的值？答　cosα＝cos[(α＋β)－β]＝cos(α＋β)cosβ＋sin(α＋β)·sinβ.思考2　利用α－(α－β)＝β可得cosβ等于什么？答　cosβ＝cos[α－(α－β)]＝cosαcos(α－β)＋sinα·sin(α－β)．思考3　若cosα－cosβ＝a，sinα－sinβ＝b，则cos(α－β)等于什么？答　cos(α－β)＝.例1　利用两角差余弦公式求cos75°、cos15°的值．解　cos75°＝cos(120°－45°)＝cos120°·cos45°＋sin120°·sin45°＝－·＋·＝.cos15°＝cos(45°－30°)＝cos45°cos30°＋sin45°sin30°＝×＋×＝.反思与感悟　在利用两角差的余弦公式求某些角的三角函数值时，关键在于把待求的角转化成已知特殊角(如30°，45°，60°，90°，120°，150°，…)之间和与差的关系问题．然后利用公式化简求值．而把一个具体角构造成两个角的和、差形式，有很多种构造方法，例如：cos15°＝cos(60°－45°)，要学会灵活运用．跟踪训练1　求cos105°＋sin195°的值．解　cos105°＋sin195°＝cos105°＋sin(90°＋105°)＝cos105°＋cos105°＝2cos105°＝2cos(135°－30°)＝2(cos135°cos30°＋sin135°sin30°)＝2＝.例2　已知sinα＝，α∈，cosβ＝－，β是第三象限角，求cos(α－β)的值．解　因为α∈，sinα＝.由此得cosα＝－＝－＝－，又因为cosβ＝－，β是第三象限角，所以sinβ＝－＝－＝－.所以cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝×＋×＝－.反思与感悟　(1)注意角α、β的象限，也就是符号问题．(2)三角变换是三角运算的灵魂与核心，它包括角的变换、函数名称的变换、三角函数式结构的变换．其中角的变