{高考必备]高一数学人教A版必修4学案：2.5.1平面几何中的向量方法Word版含答案(经典).docxVIP

2．5.1　平面几何中的向量方法明目标、知重点　1.经历用向量方法解决某些简单的平面几何问题及其它一些实际问题的过程.2.体会向量是一种处理几何问题的有力工具.3.培养运算能力、分析和解决实际问题的能力．1．向量方法在几何中的应用(1)证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行(共线)的等价条件：a∥b(b≠0)?a＝λb?x1y2－x2y1＝0.(2)证明垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形等，常用向量垂直的等价条件：非零向量a，b，a⊥b?a·b＝0?x1x2＋y1y2＝0.(3)求夹角问题，往往利用向量的夹角公式cosθ＝＝.(4)求线段的长度或证明线段相等，可以利用向量的线性运算、向量模的公式：|a|＝.2．直线的方向向量和法向量(1)直线y＝kx＋b的方向向量为(1，k)，法向量为(k，－1)．(2)直线Ax＋By＋C＝0的方向向量为(B，－A)，法向量为(A，B)．[情境导学]　向量的概念和运算都有着明确的物理背景和几何背景，当向量和平面坐标系结合后，向量的运算就完全可以转化为代数运算．这就为我们解决物理问题和几何研究带来了极大的方便．本节专门研究平面几何中的向量方法．探究点一　直线的方向向量与两直线的夹角思考1　直线y＝kx＋b的方向向量是如何定义的？如何求？答　如果向量v与直线l共线，则称向量v为直线l的方向向量．对于任意一条直线l：y＝kx＋b，在它上面任取两点A(x0，y0)，B(x，y)，则向量＝(x－x0，y－y0)与直线l共线，即为直线l的方向向量．由于(x－x0，y－y0)＝·(1，)＝(1，k)，所以向量(x－x0，y－y0)与向量(1，k)共线，从而向量(1，k)是直线y＝kx＋b的一个方向向量．思考2　直线Ax＋By＋C＝0的方向向量如何求？答　当B≠0时，k＝－，所以向量(B，－A)与(1，k)共线，所以向量(B，－A)是直线Ax＋By＋C＝0的一个方向向量；当B＝0时，A≠0，直线x＝－的一个方向向量为(0，－A)，即(B，－A)．综上所述，直线Ax＋By＋C＝0的一个方向向量为v＝(B，－A)．例1　已知△ABC的三个顶点A(0，－4)，B(4,0)，C(－6,2)，点D、E、F分别为边BC、CA、AB的中点．(1)求直线DE、EF、FD的方程；(2)求AB边上的高线CH所在直线方程．解　(1)由已知得点D(－1,1)，E(－3，－1)，F(2，－2)，设M(x，y)是直线DE上任意一点，则∥.＝(x＋1，y－1)，＝(－2，－2)．∴(－2)×(x＋1)－(－2)×(y－1)＝0，即x－y＋2＝0为直线DE的方程．同理可求，直线EF，FD的方程分别为x＋5y＋8＝0，x＋y＝0.(2)设点N(x，y)是CH所在直线上任意一点，则⊥.∴·＝0.又＝(x＋6，y－2)，＝(4,4)．∴4(x＋6)＋4(y－2)＝0，即x＋y＋4＝0为所求直线CH的方程．反思与感悟　(1)利用向量法来解决解析几何问题，首先要将线段看成向量，再把坐标利用向量法则进行运算．(2)直线Ax＋By＋C＝0的方向向量为v＝(B，－A)，法向量n＝(A，B)．这两个概念在求直线方程、判断两条直线位置关系、求两条直线的夹角时非常有用．跟踪训练1　在△ABC中，A(4,1)，B(7,5)，C(－4,7)，求∠A的平分线的方程．解　＝(3,4)，＝(－8,6)，∠A的平分线的一个方向向量为：＋＝＋＝.∵∠A的平分线过点A.∴所求直线方程为－(x－4)－(y－1)＝0.整理得：7x＋y－29＝0.探究点二　直线的法向量与两直线的位置关系思考1　如何定义直线Ax＋By＋C＝0的法向量？答　如果向量n与直线l垂直，则称向量n为直线l的法向量．因此若直线的方向向量为v，则n·v＝0.从而对于直线Ax＋By＋C＝0而言，其方向向量为v＝(B，－A)，则由于n·v＝0，于是可取n＝(A，B)，这是因为(B，－A)·(A，B)＝AB－AB＝0.直线的法向量也有无数个．思考2　如何利用直线的法向量判断两直线的位置关系？答　对于直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，它们的法向量分别为n1＝(A1，B1)，n2＝(A2，B2)．当n1∥n2时，l1∥l2或l1与l2重合．即A1B2－A2B1＝0?l1∥l2或l1与l2重合；当n1⊥n2时，l1⊥l2.即A1A2＋B1B2＝0?l1⊥l2.探究点三　平面向量在几何中的应用用向量法处理有关直线平行、垂直、线段相等、点共线、线共点以及角度等问题时有独到之处，且解法思路清晰、简洁直观．其基本方法是：(1)要证明线段AB＝CD，可转化为证明||＝||.(2)要证明AB∥CD，只需证明存在一个不为零实数λ，使得＝λ，且A、B、C、D不共线即可．(3)要证明A、B、C三点共线