{高考必备]高一数学人教A版必修4学案：2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角Word版含答案(经典).docxVIP

2.4.2　平面向量数量积的坐标表示、模、夹角明目标、知重点　1.理解两个向量数量积坐标表示的推导过程，能运用数量积的坐标表示进行向量数量积的运算.2.能根据向量的坐标计算向量的模，并推导平面内两点间的距离公式.3.能根据向量的坐标求向量的夹角及判定两个向量垂直．1．平面向量数量积的坐标表示若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2.即两个向量的数量积等于相应坐标乘积的和．2．两个向量垂直的坐标表示设两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b?x1x2＋y1y2＝0.3．平面向量的模(1)向量模公式：设a＝(x1，y1)，则|a|＝.(2)两点间距离公式：若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则||＝.4．向量的夹角公式设两非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ，则cosθ＝＝.[情境导学]　在平面直角坐标系中，平面向量可以用有序实数对来表示，两个平面向量共线的条件也可以用坐标运算的形式刻画出来，那么学习了平面向量的数量积之后，它能否用坐标来表示？若能，如何通过坐标来实现？平面向量的数量积还会是一个有序实数对吗？同时，平面向量的模、夹角又该如何用坐标来表示？通过回顾两个向量的数量积的定义及向量的坐标表示，在此基础上推导、探索平面向量数量积的坐标表示．探究点一　平面向量数量积的坐标表示思考1　已知两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，怎样用a与b的坐标表示a·b?答　∵a＝x1i＋y1j，b＝x2i＋y2j，∴a·b＝(x1i＋y1j)·(x2i＋y2j)＝x1x2i2＋x1y2i·j＋x2y1j·i＋y1y2j2.又∵i·i＝1，j·j＝1，i·j＝j·i＝0，∴a·b＝x1x2＋y1y2.思考2　若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2，这就是平面向量数量积的坐标表示．你能用文字描述这一结论吗？答　两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和．例1　已知a与b同向，b＝(1,2)，a·b＝10.(1)求a的坐标；(2)若c＝(2，－1)，求a(b·c)及(a·b)c.解　(1)设a＝λb＝(λ，2λ) (λ0)，则有a·b＝λ＋4λ＝10，∴λ＝2，∴a＝(2,4)．(2)∵b·c＝1×2－2×1＝0，a·b＝1×2＋2×4＝10，∴a(b·c)＝0a＝0，(a·b)c＝10(2，－1)＝(20，－10)．反思与感悟　两个向量的数量积是实数，这和前面三种运算性质不同．同时本例进一步验证了平面向量的数量积不满足结合律．跟踪训练1　若a＝(2,3)，b＝(－1，－2)，c＝(2,1)，则(a·b)·c＝____________；a·(b·c)＝____________.答案　(－16，－8)　(－8，－12)解析　∵a·b＝2×(－1)＋3×(－2)＝－8，∴(a·b)·c＝－8×(2,1)＝(－16，－8)．∵b·c＝(－1)×2＋(－2)×1＝－4，∴a·(b·c)＝(2,3)×(－4)＝(－8，－12)．探究点二　平面向量模的坐标形式及两点间的距离公式思考1　若a＝(x，y)，如何计算向量的模|a|?答　∵a＝xi＋yj，∴a2＝(xi＋yj)2＝(xi)2＋2xyi·j＋(yj)2＝x2i2＋2xyi·j＋y2j2.又∵i2＝1，j2＝1，i·j＝0，∴a2＝x2＋y2，∴|a|2＝x2＋y2，∴|a|＝.思考2　如图，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，如何计算向量的模？答　∵＝－＝(x2，y2)－(x1，y1)＝(x2－x1，y2－y1)，∴||＝.探究点三　平面向量夹角的坐标表示思考1　设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，若a⊥b，则x1，y1，x2，y2之间的关系如何？反之成立吗？答　a⊥b?x1x2＋y1y2＝0.思考2　设a，b都是非零向量，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ是a与b的夹角，那么cosθ如何用坐标表示？答　cosθ＝＝.例如，(1)若a＝(3,0)，b＝(－5,5)，则a与b的夹角为________．(2)已知A(1,2)，B(2,3)，C(－2,5)，则△ABC的形状是________三角形．答案　(1)π　(2)直角例2　已知a＝(1,2)，b＝(1，λ)，分别确定实数λ的取值范围，使得：(1)a与b的夹角为直角；(2)a与b的夹角为钝角；(3)a与b的夹角为锐角．解　设a与b的夹角为θ，则a·b＝(1,2)·(1，λ)＝1＋2λ.(1)因为a与b的夹角为直角，所以cosθ＝0，所以a·b＝0，所以1＋2λ＝0，所以λ＝－.(2)因为a与b的夹角为钝角，所以cosθ0且cosθ≠－1，所以a·b0且a与b不反向．由a·b0得1＋2λ0，故λ－，由a与b共线得