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{高考必备]高一数学人教A版必修4学案:2.3.4平面向量共线的坐标表示Word版含答案(经典)
2.3.4 平面向量共线的坐标表示明目标、知重点 1.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.2.能根据平面向量的坐标,判断向量是否共线.3.掌握三点共线的判断方法.1.两向量共线的坐标表示设a=(x1,y1),b=(x2,y2).(1)当a∥b时,有x1y2-x2y1=0.(2)当a∥b且x2y2≠0时,有=.即两向量的相应坐标成比例.2.若=λ,则P与P1、P2三点共线.当λ∈(0,+∞)时,P位于线段P1P2的内部,特别地λ=1时,P为线段P1P2的中点;当λ∈(-∞,-1)时,P位于线段P1P2的延长线上;当λ∈(-1,0)时,P位于线段P1P2的反向延长线上.[情境导学] 前面,我们学习了平面向量可以用坐标来表示,并且向量之间可以进行坐标运算.这就为解决问题提供了方便.我们又知道共线向量的条件是当且仅当有一个实数λ使得b=λa,那么这个条件是否也能用坐标来表示?因此,我们有必要探究一下这个问题:两向量共线的坐标表示.探究点一 平面向量共线的坐标表示思考1 a与非零向量b为共线向量的等价条件是有且只有一个实数λ使得a=λb.那么这个共线向量定理如何用坐标来表示?答 向量a,b共线(其中b≠0)?x1y2-x2y1=0思考2 设向量a=(x1,y1),b=(x2,y2)(b≠0),如果a∥b,那么x1y2-x2y1=0,请写出证明过程.答 ∵a=(x1,y1),b=(x2,y2),b≠0.∴x2,y2不全为0,不妨假设x2≠0.∵a∥b,∴存在实数λ,使a=λb,即(x1,y1)=λ(x2,y2)=(λx2,λy2),∴ ∵x2≠0.∴λ=.将λ=代入y1=λy2得y1=,即x1y2-x2y1=0.思考3 如果两个非零向量共线,你能通过它们的坐标判断它们同向还是反向吗?答 当两个向量的对应坐标同号或同为零时,同向;当两个向量的对应坐标异号或同为零时,反向.例如,向量(1,2)与(-1,-2)反向;向量(1,0)与(3,0)同向;向量(-1,2)与(-3,6)同向;向量(-1,0)与(3,0)反向等.例1 已知a=(1,2),b=(-3,2),当k为何值时,ka+b与a-3b平行?平行时它们是同向还是反向?解 ka+b=k(1,2)+(-3,2)=(k-3,2k+2),a-3b=(1,2)-3(-3,2)=(10,-4),∵ka+b与a-3b平行,∴(k-3)×(-4)-10(2k+2)=0,解得k=-.此时ka+b==-(a-3b),∴当k=-时,ka+b与a-3b平行,并且反向.反思与感悟 此类题目应充分利用向量共线定理或向量共线坐标的条件进行判断,特别是利用向量共线坐标的条件进行判断时,要注意坐标之间的搭配.跟踪训练1 已知A(2,1),B(0,4),C(1,3),D(5,-3).判断与是否共线?如果共线,它们的方向相同还是相反?解 =(0,4)-(2,1)=(-2,3),=(5,-3)-(1,3)=(4,-6).方法一 ∵(-2)×(-6)-3×4=0,且(-2)×40,∴与共线且方向相反.方法二 ∵=-2,∴与共线且方向相反.例2 已知A(-1,-1),B(1,3),C(2,5),试判断A,B,C三点之间的位置关系.解 ∵=-=(1,3)-(-1,-1)=(2,4),=-=(2,5)-(-1,-1)=(3,6),又2×6-3×4=0,∴∥.∵直线AB、AC有公共点A,∴A、B、C三点共线.反思与感悟 利用共线向量是判断三点共线的一种常用方法,其实质是从同一点出发的两个向量共线,则这两个向量的三个顶点共线.这是从平面几何中判断三点共线的方法移植过来的,而利用共线向量更加简捷.跟踪训练2 已知三点A(1,2),B(2,4),C(3,m)共线,试求m的值.解 A=(2,4)-(1,2)=(1,2).A=(3,m)-(1,2)=(2,m-2).∵A,B,C三点共线,即向量A,A共线,∴存在实数λ使得A=λA,即(1,2)=λ(2,m-2)=(2λ,λm-2λ).∴?即m=6时,A,B,C三点共线.探究点二 共线向量与中点坐标公式思考1 设P1、P2的坐标分别是(x1,y1)、(x2,y2),求线段P1P2的中点P的坐标.答 如图所示,∵P为P1P2的中点,∴=,∴-=-,∴=(+2)=.∴线段P1P2的中点坐标是.思考2 设P1、P2的坐标分别是(x1,y1)、(x2,y2).点P是线段P1P2的一个三等分点,求P点的坐标.答 点P是线段P1P2的一个三等分点,分两种情况:①当=时,=+=+=+(-)=+=;②当=时,=+=+=+(-)=+=.思考3 已知△ABC的三个顶点坐标依次为A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3).求△ABC的重心G的坐标.答 延长AG交BC于点D,∵G为△ABC的重心,∴D为BC的中点
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