{高考必备]高一数学人教A版必修4学案：2.3平面向量的基本定理及坐标表示（2-3课时）Word版含答案(经典).docxVIP

2．3.2　平面向量的正交分解及坐标表示2．3.3　平面向量的坐标运算明目标、知重点　1.了解平面向量的正交分解，掌握向量的坐标表示.2.掌握两个向量和、差及数乘向量的坐标运算法则.3.正确理解向量坐标的概念，要把点的坐标与向量的坐标区分开来．1．平面向量的坐标表示(1)向量的正交分解：把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解．(2)向量的坐标表示：在平面直角坐标系中，分别取与x轴，y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底，对于平面内的一个向量a，有且只有一对实数x，y使得a＝xi＋yj，则有序数对(x，y)叫做向量a的坐标，a＝(x，y)叫做向量a的坐标表示．(3)向量坐标的求法：在平面直角坐标系中，若A(x，y)，则＝(x，y)；若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)．2．平面向量的坐标运算(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，即两个向量和的坐标等于这两个向量相应坐标的和．(2)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a－b＝(x1－x2，y1－y2)，即两个向量差的坐标等于这两个向量相应坐标的差．(3)若a＝(x，y)，λ∈R，则λa＝(λx，λy)，即实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标．[情境导学]　我们知道，在平面直角坐标系中，每一个点都可用一对有序实数(即它的坐标)表示．对于直角坐标平面内的每一个向量，如何表示呢？能不能像点一样也用坐标来表示？探究点一　平面向量的坐标表示思考1　如果向量a与b的夹角是90°，则称向量a与b垂直，记作a⊥b.互相垂直的两个向量能否作为平面内所有向量的一组基底？答　互相垂直的两个向量能作为平面内所有向量的一组基底．思考2　把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解．如图，向量i、j是两个互相垂直的单位向量，向量a与i的夹角是30°，且|a|＝4，以向量i、j为基底，向量a如何表示？答　a＝2i＋2j.小结　在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底．对于平面内的任一向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得a＝xi＋yj.我们把有序数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作a＝(x，y)，其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标．显然有，i＝(1,0)，j＝(0,1)，0＝(0,0)．思考3　在平面直角坐标系中，作向量＝a，若＝(x，y)，此时点A的坐标是什么？根据下图写出向量a，b，c，d的坐标，其中每个小正方形的边长是1.答　A(x，y)；a＝(2,3)，b＝(－2,3)，c＝(－3，－2)，d＝(3，－3)．探究点二　平面向量的坐标运算思考1　设i、j是与x轴、y轴同向的两个单位向量，若设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＝x1i＋y1j，b＝x2i＋y2j，根据向量的线性运算性质，向量a＋b，a－b，λa(λ∈R)如何分别用基底i、j表示？答　a＋b＝(x1＋x2)i＋(y1＋y2)j，a－b＝(x1－x2)i＋(y1－y2)j，λa＝λx1i＋λy1j.思考2　根据向量的坐标表示，向量a＋b，a－b，λa的坐标分别如何？用数学语言描述上述向量的坐标运算．答　a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2);a－b＝(x1－x2，y1－y2); λa＝(λx1，λy1)．两个向量和(差)的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和(差)；实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标．思考3　已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么向量的坐标是什么？一般地，一个任意向量的坐标如何计算？点的坐标与向量的坐标有何区别？答　＝(x2－x1，y2－y1).任意一个向量的坐标等于表示该向量的有向线段的终点坐标减去始点坐标．(1)向量a＝(x，y)中间用等号连接，而点的坐标A(x，y)中间没有等号．(2)平面向量的坐标只有当起点在原点时，向量的坐标才与向量终点的坐标相同．(3)在平面直角坐标系中，符号(x，y)可表示一个点，也可表示一个向量，叙述中应指明点(x，y)或向量(x，y)．例1　已知a＝(2,1)，b＝(－3,4)，求a＋b，a－b,3a＋4b的坐标．解　a＋b＝(2,1)＋(－3,4)＝(－1,5)，a－b＝(2,1)－(－3,4)＝(5, －3)，3a＋4b＝3(2,1)＋4(－3,4)＝(6,3)＋(－12,16)＝(－6,19).反思与感悟　(1)已知两点求向量的坐标时，一定要注意是终点坐标减去起点坐标；(2)向量的坐标运算最终转化为实数的运算．跟踪训练1　已知a＝(－1,2)，b＝(2,1)，求：(1)2a＋3b；(2)a－3b；(3)a－b.解　(1)2a＋3b＝2(－1,2)＋3(2,