{高考必备]高一数学人教A版必修4学案：2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义（一）Word版含答案(经典).docxVIP

2．4.1　平面向量数量积的物理背景及其含义(一)明目标、知重点　1.了解平面向量数量积的物理背景，即物体在力F的作用下产生位移s所做的功.2.掌握平面向量数量积的定义和运算律，理解其几何意义.3.会用两个向量的数量积求两个向量的夹角以及判断两个向量是否垂直．1．两个向量的夹角(1)已知两个非零向量a，b，作＝a，＝b，则∠AOB称作向量a和向量b的夹角，记作〈a，b〉，并规定它的范围是0≤〈a，b〉≤π.在这个规定下，两个向量的夹角被唯一确定了，并且有〈a，b〉＝〈b，a〉． (2)当〈a，b〉＝时，我们说向量a和向量b互相垂直，记作a⊥b.2．平面向量的数量积(1)定义：已知两个非零向量a与b，我们把数量|a||b|cosθ叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cosθ，其中θ是a与b的夹角．(2)规定：零向量与任一向量的数量积为0.(3)投影：设两个非零向量a、b的夹角为θ，则向量a在b方向的投影是|a|cosθ，向量b在a方向上的投影是|b|cosθ.3．数量积的几何意义a·b的几何意义是数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积．探究点一　平面向量数量积的含义思考1　如图，一个物体在力F的作用下产生位移s，且力F与位移s的夹角为θ，那么力F所做的功W是多少？答　W＝|F||s|cosθ.思考2　对于两个非零向量a与b，我们把数量|a||b|cosθ叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a|·|b|cosθ，那么a·b的运算结果是向量还是数量？特别地，零向量与任一向量的数量积是多少？答　a·b的运算结果是数量．0·a＝0.思考3　对于两个非零向量a与b，夹角为θ，其数量积a·b何时为正数？何时为负数？何时为零？答　当0°≤θ90°时，a·b0；当90°θ≤180°时，a·b0；当θ＝90°时，a·b＝0.小结　已知两个非零向量a与b，我们把数量|a||b|cosθ叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cosθ，其中θ是a与b的夹角，θ∈[0，π]．规定：零向量与任一向量的数量积为0.思考4　向量的数量积与数乘向量的区别是什么？答　向量的数量积a·b是一个实数，不考虑方向；数乘向量λa是一个向量，既有大小，又有方向．例1　已知|a|＝4，|b|＝5，当(1)a∥b；(2)a⊥b；(3)a与b的夹角为30°时，分别求a与b的数量积．解　(1)a∥b，若a与b同向，则θ＝0°，a·b＝|a|·|b|·cos0°＝4×5＝20；若a与b反向，则θ＝180°，∴a·b＝|a|·|b|cos180°＝4×5×(－1)＝－20.(2)当a⊥b时，θ＝90°，∴a·b＝|a|·|b|cos90°＝0.(3)当a与b的夹角为30°时，a·b＝|a|·|b|cos30°＝4×5×＝10.反思与感悟　求平面向量数量积的步骤是：①求a与b的夹角θ，θ∈[0°，180°]；②分别求|a|和|b|；③求数量积，即a·b＝|a|·|b|·cosθ，要特别注意书写时a与b之间用实心圆点“·”连接，而不能用“×”连接，也不能省去．跟踪训练1　已知|a|＝4，|b|＝3，当(1)a∥b；(2)a⊥b；(3)a与b的夹角为60°时，分别求a与b的数量积．解　(1)当a∥b时，若a与b同向，则a与b的夹角θ＝0°，∴a·b＝|a||b|cosθ＝4×3×cos0°＝12.若a与b反向，则a与b的夹角为θ＝180°，∴a·b＝|a||b|cos180°＝4×3×(－1)＝－12.(2)当a⊥b时，向量a与b的夹角为90°，∴a·b＝|a||b|cos90°＝4×3×0＝0.(3)当a与b的夹角为60°时，∴a·b＝|a||b|cos60°＝4×3×＝6.探究点二　投影思考1　对于两个非零向量a与b，设其夹角为θ，|a|cosθ叫做向量a在b方向上的投影．那么该投影一定是正数吗？向量b在a方向上的投影是什么？答　不一定；|b|cosθ.小结　我们把|a|cosθ叫做向量a在b方向上的投影，|b|cosθ叫做向量b在a方向上的投影，其中θ为向量a与b的夹角．由数量积的定义a·b＝|a||b|cosθ可得：|a|cosθ＝；|b|cosθ＝.思考2　根据投影的概念，数量a·b＝|a||b|cosθ的几何意义如何？答　数量积a·b等于a的模与b在a方向上的投影|b|cosθ的乘积，或等于b的模与a在b方向上的投影|a|·cosθ的乘积．例2　已知a·b＝－9，a在b方向上的投影为－3，b在a方向上的投影为－，求a与b的夹角θ.解　∵　∴即，∴∴cosθ＝＝＝－.∵0°≤θ≤180°，∴θ＝120°.反思与感悟　(1)理清“谁在谁上”的投影，再列方程，将条件转化解决．(2)