{高考必备]高一数学人教A版必修4学案：2.2.3向量数乘运算及其几何意义Word版含答案(经典).docxVIP

2.2.3　向量数乘运算及其几何意义明目标、知重点　1.了解向量数乘的概念，并理解这种运算的几何意义.2.理解并掌握向量数乘的运算律，会运用向量数乘运算律进行向量运算.3.理解并掌握两向量共线的性质及其判定方法，并能熟练地运用这些知识处理有关共线向量问题．1．向量数乘运算：实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa，其长度与方向规定如下：(1)|λa|＝|λ||a|.(2)λa(a≠0)的方向特别地，当λ＝0或a＝0时，0a＝0或λ0＝0.2．向量数乘的运算律(1)λ(μa)＝(λμ)a.(2)(λ＋μ)a＝λa＋μa.(3)λ(a＋b)＝λa＋λb.特别地，有(－λ)a＝－(λa)＝λ(－a)；λ(a－b)＝λa－λb.3．共线向量定理：向量a (a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b＝λa.4．向量的线性运算：向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，对于任意向量a、b，以及任意实数λ、μ1、μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝λμ1a±λμ2b.[情境导学]　引入：位移、力、速度、加速度等都是向量，而时间、质量等都是数量，这些向量与数量的关系常常在物理公式中体现．如力与加速度的关系F＝ma，位移与速度的关系s＝vt.这些公式都是实数与向量间的关系．师：我们已经学习了向量的加法，请同学们作出a＋a＋a和(－a)＋(－a)＋(－a)向量，并请同学们指出相加后，和的长度与方向有什么变化？这些变化与哪些因素有关？生：a＋a＋a的长度是a的长度的3倍，其方向与a的方向相同，(－a)＋(－a)＋(－a)的长度是a长度的3倍，其方向与a的方向相反．师：很好！本节课我们就来讨论实数与向量的乘积问题．探究点一　向量数乘运算的物理背景思考1　一物体作匀速直线运动，一秒钟的位移对应向量v，那么在同方向上3秒钟的位移对应的向量用3v表示，试在直线l上画出3v向量，看看向量3v与v的关系如何？答　3v＝＝＋＋＝v＋v＋v.∴3v与v的方向相同，|3v|＝3|v|.思考2　已知非零向量a，作出a＋a＋a和(－a)＋(－a)＋(－a)，你能说明它们与向量a之间的关系吗？答　＝＋＋＝a＋a＋a＝3a；＝＋＋＝(－a)＋(－a)＋(－a)＝－3a.思考3　一般地，我们规定：实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘．记作λa，该向量的长度与方向与向量a有什么关系？答　λa仍然是一个向量．(1)|λa|＝|λ||a|；(2)λ0时，λa与a方向相同；λ0时，λa与a方向相反；λ＝0时，λa＝0.方向任意．探究点二　向量数乘的运算律思考1　根据实数与向量积的定义，可以得哪些数乘运算律？答　设λ，μ∈R，则有①λ(μa)＝(λμ)a；②(λ＋μ)a＝λa＋μa；③λ(a＋b)＝λa＋λb.思考2　向量等式的证明依据是相等向量的定义，既要证明等式两边的模相等，又要证明方向相同．你能根据这两条证明其中的第①条运算律吗？答　①λ(μa)＝(λμ)a(λ，μ∈R)．如果λ＝0或μ＝0或a＝0，则①式显然成立；如果λ≠0，μ≠0，a≠0，则由向量数乘的定义有|λ(μa)|＝|λ||μa|＝|λ||μ||a|，|(λμ)a|＝|λμ||a|＝|λ||μ||a|，故|λ(μa)|＝|(λμ)a|.如果λ、μ同号，则①式两边向量的方向都与a同向；如果λ、μ异号，则①式两边向量的方向都与a反向．因此，向量λ(μa)与(λμ)a有相等的模和相同的方向，所以λ(μa)＝(λμ)a.例1　计算：(1)(－3)×4a；(2)3(a＋b)－2(a－b)－a；(3)(2a＋3b－c)－(3a－2b＋c)．解　(1)原式＝(－3×4)a＝－12a；(2)原式＝3a＋3b－2a＋2b－a＝5b；(3)原式＝2a＋3b－c－3a＋2b－c＝－a＋5b－2c.反思与感悟　向量的线性运算类似于代数多项式的运算，主要是“合并同类项”、“提取公因式”，但这里的“同类项”、“公因式”指向量，实数看作是向量的系数．跟踪训练1　计算：(1)6(3a－2b)＋9(－2a＋b)；(2)－；(3)6(a－b＋c)－4(a－2b＋c)－2(－2a＋c)．解　(1)原式＝18a－12b－18a＋9b＝－3b.(2)原式＝－＝－＝a＋b－a－b＝0.(3)原式＝6a－6b＋6c－4a＋8b－4c＋4a－2c＝(6a－4a＋4a)＋(8b－6b)＋(6c－4c－2c)＝6a＋2b.探究点三　共线向量定理及应用思考1　请观察a＝m－n，b＝－2m＋2n，回答a、b有何关系？答　因为b＝－2a，所以a、b是平行向量．思考2　若a、b是平行向量(a≠0)能否得出b＝λa？为什么？答　可以．因为a、b平行，它们的方向相同或相反．小结　由向量数乘的含义，我们容易得到向量共线的等价条件：如果a(a