江苏省东海高级中学高三奥赛班数学提升题一.docVIP

高三能力提升题一（每日一题） 1、已知中，且()2＝·＋·＋·判断的形状并求的取值范围； 不等式，对任意的都成立求的取值范围．∵()2＝·＋·＋· ()2＝·(＋)＋·即()2＝·＋··＝0△ABC 是以C为直角顶点的直角三角形 ∴sinA＋sinB＝sinA＋cosA＝sin(A＋)，A∈(0，) ∴sinA＋sinB的取值范围． （Ⅱ）在直角△ABC中， a＝csinA，b＝ccosA若a2(b＋c)＋b2(c＋a)＋c2(a＋b)kabc，对任意的a、b、c都成立， ≥k，对任意的a、b、c都成立∵ ＝[c2sin2A(ccosA＋c)＋c2cos2A(csinA＋c)＋c2(csinA＋ccosA)] ＝[ sin2AcosA＋cos2A sinA＋1＋cosA＋sinA]＝cosA＋sinA＋ 令t＝sinA＋cosA，t∈，设f(t)＝＝t＋＝t＋＝t－1＋＋1f(t)＝t－1＋＋1当t－1∈时 f(t)为单调递减函数，∴当t＝时取得最小值，最小值为2＋3，k≤2＋3 ∴k的取值范围为（－∞，2＋3．对任何，都有. (1)若，且，数列满足，问数列能否构成等差数列，若能，请求出满足条件的所有等差数列；若不能，请说明理由； (2)求的最大值. 解：(1)设，则，，又，，若数列构成等差数列，可设为常数，因为，所以，解得：，所以数列能构成等差数列：①0，0，0，……；②……；③…… （2）因为，所以 , ……（＊） 若，则，即 （＊）式＝ 　，若，同上可得（＊）式. 令，此时函数满足条件，即时，，且．∴的最大值是3． 高三能力提升题三（每日一题） 已知函数当时，的值域为，当时，的值域为……当时，的值域为，其中a，b为常数，．　 （）与的通项；　　 （）且，若数列是公比不为1的等比数列，求b的值；　　 （），设与的前n项和分别记为与，求的值． （I）解：函数在R上是增函数， 数列与都是公差为b的等差数列. （II）解：；由是等比数列， 知应为常数. 又是公比不为1的等比数列，则不是常数，必有 （III）解：两式相减， 得 . 高三能力提升题四（每日一题） 已知函数的图像过点，对任意实数都成立，函数与的图像关于原点对称。 （Ⅰ）求与的解析式； （Ⅱ）若—在[-1，1]上是增函数，求实数λ的取值范围； 解：⑴由题意知：， 设函数图象上的任意一点关于原点的对称点为P（x,y）, 则， 因为点 ⑵ 连续，恒成立 即， 由上为减函数， 当时取最小值0， 故 另解：， ，解得 高三能力提升题五（每日一题） 已知椭圆C：，过点P作椭圆C的两条切线PM、PN，切点分别为M、N，为等边三角形， （1）求椭圆C的离心率； （2）过椭圆C的左焦点F斜率为1的直线与椭圆C交于A、B两点，D为椭圆上任意一点，求证：存在，使得成立。 解：（1）由题设，不妨设PM的方程为，代入得 由得（5分） （2）由（1）得 ①设都在椭圆上 由条件知不共线，存在，使得 代入①得 ·设方程为代入①得 存在，使得，使成立。 的首项为1，公比为2的等比数列，数列满足： 表示数列的前n项和. （Ⅰ）当k=2时，求S30； （Ⅱ）当S30取得最小值时，求k的值. 解：（Ⅰ） 当k=2时， 则 （Ⅱ） ………12分 当且仅当时，等号成立。 ∴当S30取得最小值时，k=15。 高三能力提升题七（每日一题） 已知在上有定义，，且满足当时， 有，数列中有，. ⑴ 证明：在上为奇函数； ⑵ 求的表达式； ⑶ 是否存在自然数，使得对于任意，有成立？若存在，求出的最小值. ⑴ 证明：当时，； 令，得,即 ∴对任意的，有. 故在为奇函数. ⑵　解：∵满足 ∴ ∴. 又在为奇函数∴ 由，，有，从而 ⑶　解： 假设存在自然数，使得对于任意的， 有成立，即恒成立 ∴，解得 ∴. 存在自然数，使得对于任意， 有成