高等数学下册总复习..docVIP

高等数学下册总复习资料 财管双语班 目 录 目录 〈一〉内容提要 2 第八章 多元函数微分法及其应用 2 第九章 重积分 5 第十章 曲线积分与曲面积分 9 第十一章 无穷级数 12 第十二章 微分方程 18 〈二〉强化训练 21 （Ⅰ）04、05、06期末试卷 21 2004—2005学年第二学期期末考试试卷 21 2005—2006学年第二学期期末考试试卷 25 2006—2007学年期末考试试卷 27 （Ⅱ）自测训练 30 试卷一 30 附参考答案： 33 试卷二 34 附参考答案： 37 试卷三 38 附参考答案： 41 2005－2006学年第二学期期末考试试卷（2005级快班试卷） 43 2006－2007学年第二学期期末考试（2006级快班试卷） 46 试卷四 49 参考答案及提示 53 试卷五 57 参考答案及提示： 61 高等数学下册总复习 〈一〉内容提要 第八章 多元函数微分法及其应用 一、基本概念 1．多元函数 （1）知道多元函数的定义 元函数： （2）会求二元函数的定义域 1°：分母不为； 2°：真数大于； 3°：开偶次方数不小于； 4°：或中≤ （3）会对二元函数作几何解释 2．二重极限 这里动点是沿任意路线趋于定点的． 理解二重极限的定义 一元函数中极限的运算法则对二重极限也适用，会求二重极限； 会证二元函数的极限不存在（主要用沿不同路径得不同结果的方法）． 3．多元函数的连续性 （1）理解定义：． （2）知道一切多元初等函数在其定义域内连续的结论； （3）知道多元函数在闭区域上的最大最小值定理、介值定理。 二、偏导数与全微分 1．偏导数 （1）理解偏导数的定义（二元函数） （2）知道偏导数的几何意义以及偏导数存在与连续的关系． （3）求偏导数法则、公式同一元函数． 2．高阶偏导数 （1）理解高阶偏导数的定义． （2）注意记号与求导顺序问题． （3）二元函数有二阶连续偏导数时，求导次序无关：． 3．全微分 （1）知道全微分的定义 若可表示成，则在点处可微；称为此函数在点处的全微分，记为． （2）知道二元函数全微分存在的充分必要条件： 函数可微，偏导数必存在； （，；） 偏导数存在，不一定可微（是否为）． 偏导数连续，全微分必存在． 方向导数、梯度，只对快班要求． 三、多元复合函数与隐函数求导法则 1．多元复合函数的求导法则 （1） （2）对于函数只有一个中间变量的二元函数或多个中间变量的一元函数（全导数）的求导法要熟练掌握． （3）快班学生要掌握多元复合函数（主要是两个中间变量的二元函数）的二阶偏导数的求法． 2．隐函数的求导公式 （1）一个方程的情形 若确定了，则； 若确定了，则，． （2）方程组的情形 若能确定，则由 可解出与； 若确定了，，象上边一样，可以求出，及，． 四、多元函数微分法的应用 1．几何应用 （1）空间曲线的切线与法平面方程 1°：曲线：，，，时，上相应点处的切线方程： 法平面方程： 2°：曲线：，则点处的切线方程： 法平面方程： 3°：曲线：，则点处的切线方程为 法平面方程： （2）空间曲面的切平面与法线方程 1°：曲面：，点处的切平面方程为： 法线方程： 2°：曲面：，在点处的切平面方程为： 法线方程为： 2．极值应用 （1）求一个多元函数的极值（如）：先用必要条件，求出全部驻点，再用充分条件求出驻点处的，与； ，时有极大值，时有极小值； 时无极值． （2）求最值 1°：纯数学式子时，区域内驻点处的函数值与区域边界上的最值比较； 2°：有实际意义的最值问题． （3）条件极值 求一个多元函数在一个或个条件下的极值时，用拉格朗日乘数法． 如：在条件与下的极值时，取 解方程组，求出，， 则就是可能的极值点；再依具体问题就可判定为极大（或极小）值点． 第九章 重积分 二重积分 定义： 几何意义：当≥时，表示以曲面为顶，以为底的曲顶柱体体积． 物理意义：以为密度的平面薄片的质量． 性质 1°： 2°： 3°：若，则 4°：时， 5°：若在上≥，则 ≥≥ 6°：若在闭区域上连续，且≤≤，则 ≤≤ 7°：（中值定理）若在闭区域上连续，则必有点，使 二重积分的计算法 （1）在直角坐标系中 1°：若积分区域为型区域 ： 则化为先后的二次积分： 2°：若积分区域为型区域 ： 则化为先后的二次积分： （2）在极坐标系中 , 1°：极点在外： ： 则有 2°：极点在的边界上： ： 则有 3°：极点在内： ： 则有 在计算二重积分时要注意： 1°：选系：是直角坐标系还是极坐标系； 若积分区域是圆域、环域或它们的一部分；被积式含有或两个积分变量之比、时，一般可选择极坐标