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高等数学第三版答案2.
习题二
设,求.
解:,故.
2.(1) 设,求
解:
(2) 设求
解:
3.下列各题中均假定存在,按照导数定义观察下列极限,指出A表示什么.
(1)
解:
故
(2)
解:
故
(3)
解:
故
4.讨论函数在点处的连续性和可导性.
解:,故函数在处连续.
又,故函数在处不可导.
5.设函数
为了使函数在点处连续且可导,应取什么值?
解:因
要使在处连续,则有
又
要使在处可导,则必须,
即故当时,在处连续且可导.
6. 讨论下列函数在指定点的连续性与可导性:
(1)
解:因为所以此函数在处连续.
又
,故此函数在处不可导.
(2)
解:因为故函数在处连续.
又,
故函数在处可导.
(3)
解:因为
,故函数在x=1处连续.
又
,故函数在x=1处不可导.
7. 如果为偶函数,且存在,证明:
证明:
故
8.求下列函数在处的左、右导数,从而证明函数在处不可导.
(1)
证明:
因,故函数在处不可导.
(2)
证明:
因,故函数在处不可导.
(3)
证明:
因,故函数在处不可导.
9.求下列函数的导数:
(1) ;
解:
(2) ;
解:
(3) ;
解:
10.已知求.
解:当时,
当时,
当时,
故
综上所述知
11. 设,其中a为常数,为连续函数,讨论在处的可导性.
解:
.
故当时,在处可导,且
当时,在处不可导.
12. 已知,求.
解:
当时,,
当时,,
故不存在.
又
故不存在.
综上所述知
.
13. 若,求.
解:令,则
,即
14. 试求过点(3,8)且与曲线相切的直线方程.
解:曲线上任意一点处的切线斜率为.因此过(3,8)且与曲线相切的直线方程为:,且与曲线的交点可由方程组解得
为(2,4),(4,16)即为切点.
故切线方程为:
15. 证明:双曲线上任一点处的切线与两坐标轴构成的三角形的面积都等于.
证明:在双曲线上任取一点
则,
则过点的切线方程为:
令
得切线与x轴的交点为,
令
得切线与y轴的交点为,
故
16. 已知在点可导,证明:
.
证明:
17. 垂直向上抛一物体,其上升高度与时间t的关系式为:求:
⑴ 物体从t=1(s)到t=1.2(s)的平均速度:
解:
⑵ 速度函数v(t);
解:.
⑶ 物体何时到达最高.
解:令,得,
即物体到达最高点的时刻为
18. 设物体绕定轴旋转,在时间间隔[0,t]内,转过角度,从而转角是t的函数:.如果旋转是匀速的,那么称为该物体旋转的角速度.如果旋转是非匀速的,应怎样确定该物体在时刻的角速度?
解:设此角速度值为,则
.
19. 设表示重1单位的金属从加热到所吸收的热量,当金属从升温到时,所需热量为与之比称为到的平均比热,试解答如下问题:
⑴ 如何定义在时,金属的比热;
解:
⑵ 当(其中a, b均为常数)时,求比热.
解:.
20. 求下列函数在给定点处的导数:
⑴ 求;
解:
⑵ 求和;
解:
⑶ 求.
解:
故
21. 求下列函数的导数:
⑴ ;
解:
⑵ ;
解:
⑶ ;
解:
⑷ ;
解:
⑸ ;
解:
⑹ ;
解:
⑺ ;
解:
⑻ .
解:
22. 设,且所有的函数都可导,证明:
证明:
求下列函数的导数:
⑴ ; ⑵ ;
⑶ ; ⑷ ;
⑸ ; ⑹ (a为常数);
⑺ ; ⑻ ;
⑼ ; ⑽ ;
⑾ ; ⑿ ;
⒀ ;
⒁ 为常数).
解:⑴ ;
⑵ ;
⑶ ;
⑷
;
⑸
;
⑹ ;
⑺ ;
⑻ ;
⑼ ;
⑽ ;
⑾
⑿
⒀ ;
⒁ .
24. 求.
解:
25. 若,求.
解:
试求曲线在点(0,1)及点(-1,0)处的切线方程和法线方程.
解:
故在点(0,1)处的切线方程为:
,即
法线方程为:,即
在点(-1,0)处的切线方程为:
法线方程为:
设可导,求下列函数y的导数:
⑴
解:
⑵
解:
28. 求函数的反函数的导数.
解:
故反函数的导数为:
.
29. 已知的导数,且,求的反函数的导数.
解:时
故,
从而.
求下列参数方程所确定的函数的导数:
⑴ (a,b为常数)
解:
⑵
解:
31. 已知求当时的值.
解:
.
32. 求下列隐函数的导
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