高等数学第三版答案5..docVIP

38. 设y=f(x)在x=x0的某邻域内具有三阶连续导数，如果，而，试问x=x0是否为极值点?为什么？又是否为拐点？为什么？ 答：因，且，则x=x0不是极值点.又在中，，故在左侧与异号，在右侧与同号，故在x=x0左、右两侧凹凸性不同，即是拐点. 39. 作出下列函数的图形： ； 解：函数的定义域为(－∞，+∞),且为奇函数, 令，可得， 令，得x=0，, 列表讨论如下： x 0 (0，1) 1 (1，) (，+∞) y′ + 0 － － － y″ 0 － － － 0 + y 0 极大 拐点 当x→∞时，y→0，故y=0是一条水平渐近线. 函数有极大值，极小值，有3个拐点，分别为(0，0)， ，作图如上所示. (2) f(x)=x－2arctanx 解：函数定义域为(－∞，+∞)，且为奇函数, 令y′=0，可得x=±1， 令y″=0，可得x=0. 列表讨论如下： X 0 (0，1) 1 (1，∞) y′ － 0 + y″ 0 + + Y 0 极小 又 且 故是斜渐近线，由对称性知亦是渐近线.函数有极小值，极大值.(0，0)为拐点.作图如上所示. ； 解：函数的定义域为. 令得x=0，x=－2 当时，单调增加； 当时，单调减少； 当时，单调减少； 当时，单调增加, 故函数有极大值f(－2)=－4，有极小值f(0)=0 又，故x=－1为无穷型间断点且为铅直渐近线. 又因， 且， 故曲线另有一斜渐近线y=x－1. 综上所述，曲线图形为： (4). 解：函数定义域为(－∞，+∞) . 令，得x=1. 令，得. 当时，函数单调增加； 当时，函数单调减少； 当时，，曲线是凹的； 当时，，曲线是凸的, 故函数有极大值f(1)=1，两个拐点：， 又，故曲线有水平渐近线y=0. 图形如下： 40. 逻辑斯谛(Logistic)曲线族 建立了动物的生长模型. (1) 画出B=1时的曲线的图像，参数A的意义是什么(设x表示时间，y表示某种动物数量)？ 解：，g(x)在(－∞，+∞)内单调增加， 当x0时，在(0，+∞)内是凸的. 当x0时，在(－∞，0)内是凹的. 当x=0时，. 且.故曲线有两条渐近线y=0，y=A.且A为该种动物数量(在特定环境中)最大值，即承载容量.如图： (2) 计算g(－x)+g(x)，并说明该和的意义； 解：. (3) 证明：曲线是对g(x)的图像所作的平移. 证明：∵ 取，得 即曲线是对g(x)的图像沿水平方向作了个单位的平移. 习题四 1. 利用定义计算下列定积分： （1） 解：将区间[a, b]n等分，分点为 记每个小区间长度为取 则得和式 由定积分定义得 (2) 解：将区间[0, 1] n等分，分点为记每个小区间长度取则和式 2. 利用定积分概念求下列极限： 解：原式 解：原式 3. 用定积分的几何意义求下列积分值: ； 解:由几何意义可知,该定积分的值等于由x轴、直线x=1、y=2x所围成的三角形的面积，故原式=1. . 解：由几何意义可知，该定积分的值等于以原点为圆心，半径为R的圆在第一象限内的面积，故原式=. 4. 证明下列不等式： ； 证明：当时，即 由积分的保序性知： 即 (2) 证明：当时， 由积分的保序性知： 即 5. 证明： （1） 证明：当时， 于是 而 由夹逼准则知： (2) 证明：由中值定理得 其中 故 6. 计算下列定积分： 解：原式. ; 解：原式 ,其中 解：原式 解：原式 解：原式 7. 计算下列导数： 解：原式. 解：原式 8. 求由参数式所确定的函数y对x的导数. 解： 9. 求由方程所确定的隐函数的导数. 解：方程两边对x求导，有 又 故 . 10. 求下列极限： 解：原式 解：原式 11. a, b, c取何实数值才能使 成立. 解：因为时，而该极限又存在，故b=0.用洛必达法则，有 所以 或 . 12. 利用基本积分公式及性质求下列积分： ; 解：原式. ； 解：原式= 解：原式=3 解：原式= ; 解：原式= 解：原式= 解：原式=. 解：原式=. 解：原式=. 解：原式= 解：原式= ; 解：原式= 解：原式= 解：原式=. ； 解：原式=. ; 解：原式=. ; 解：原式= . 解：原式= 13. 一平面曲线过点（1，0），且曲线上任一点（x, y）处的切线斜率为2x－2，求该曲线方程. 解：依题意知： 两边积分，有 又x=1时，