高等数学第三版答案4..docVIP

12. 求下列极限问题中，能使用洛必达法则的有（　　）. ⑴ ；　　　⑵　； ⑶　； ⑷　 解：⑴　∵不存在,（因，为有界函数） 　　　又, 　　　故不能使用洛必达法则. ⑶ ∵不存在, 而 故不能使用洛必达法则. ⑷ ∵ 利用洛必达法则无法求得其极限. 而. 故答案选（2）. 13. 设,求常数, 的值. 解：要使成立，则,即 又 得 14. 设二阶可导，求. 解： 确定下列函数的单调区间： (1) ； 解：所给函数在定义域内连续、可导，且 可得函数的两个驻点：,在内，分别取+，–，+号，故知函数在内单调增加，在内单调减少. (2) ； 解: 函数有一个间断点在定义域外，在定义域内处处可导，且，则函数有驻点，在部分区间内，；在内0，故知函数在内单调增加，而在内单调减少. (3) ； 解: 函数定义域为，,故函数在上单调增加. (4) ； 解: 函数定义域为,，则函数有驻点: ,在内， ，函数单调减少；在内， ，函数单调增加. (5) ； 解: 函数定义域为， 函数的驻点为,在上，函数单调增加；在上，函数单调减少. (6) ； 解: 函数定义域为, 当时， ，则 ； . 当时， ，则 . 综上所述，函数单调增加区间为， 函数单调减少区间为. (7) . 解: 函数定义域为. 函数驻点为, 在内， ,函数单调增加， 在上， ,函数单调减少， 在上， ,函数单调增加， 在内， ,函数单调增加. 故函数的单调区间为: ，，. 16. 证明下列不等式: (1) 当时， 证明: 令则, 当时， 为严格单调增加的函数，故, 即 (2) 当时， 证明: 令,则, ,则为严格单调减少的函数,故,即为严格单调减少的函数,从而,即 17. ⑴ 证明：不等式 证明：令在[0，x]上应用拉格朗日定理，则使得 　　　　 即,因为，则 即 ⑵　设证明： 　　　 证明：令,在[b，a]上应用拉格朗日定理，则使得 　　　　 因为,则, 即 ⑶　设证明： 　　　 证明：令在[b，a]上应用拉格朗日定理，则使得 　　　　 因为，所以, 即. ⑷　设证明： 　　　 证明：令，,应用拉格朗日定理，有 即 18. 试证:方程只有一个实根. 证明:设，则为严格单调减少的函数，因此至多只有一个实根.而，即为的一个实根，故只有一个实根，也就是只有一个实根. 19. 求下列函数的极值: (1) ； 解: ,令，得驻点. 又因，故为极小值点，且极小值为. (2) ； 解: ,令，得驻点, ,, 故极大值为，极小值为. (3) ； 解: , 令，得驻点. ,, 故极大值为，极小值为. (4) ； 解: ，令，得驻点. ,故为极大值. (5) ； 解: ， 令，得驻点. 故为极大值，为极小值. (6) ； 解: ,令，得驻点且在定义域内有一不可导点，当时， ;当时， ,故为极大值点，且极大值为. 因为函数定义域为，故不是极值点. (7) ； 解: ,令，得驻点. 当时， ；当，,故极大值为. (8) ； 解: ,, 令，得驻点. , 故极大值为，极小值为. (9) ； 解: , 令，得驻点. ，， 故为极大值点，其对应的极大值为; 为极小值点，对应的极小值为. (10) ； 解: , 令，得驻点. 当时， ，当时， , 故极大值为. (11) ； 解: ,令，得驻点. , 故极小值为. (12) ； 解: ，无驻点. y的定义域为，且y在x=1处不可导，当x1时，当x1时， ，故有极大值为. (13) ； 解: .无驻点.y在处不可导，但恒小于0，故y无极值. (14) . 解: , y为严格单调增加函数，无极值点. 20. 试证明：如果函数满足条件，那么这函数没有极值. 证明：，令，得方程， 由于 ，那么无实数根，不满足必要条件，从而y无极值. 21. 试问a为何值时，函数在处取得极值？它是极大值还是极小值？并求此极值. 解：f(x)为可导函数，故在处取得极值，必有 ，得a=2. 又 ， 所以是极大值点，极大值为. 22. 求下列函数的最大值、最小值： ； 解：y的定义域为，，得唯一驻点x=－3 且当时，，y单调递减；当时，，y单调递增, 因此x=－3为y的最小值点，最小值为f(－3)=27. 又，故f(x)无最大值. ； 解：，在上得唯一驻点， 又 , 故函数在[－5，1]上的最大值为，最小值为. . 解：函数在(－1，3)中仅有两个驻点x=0及x=2， 而 y(－1)=－5， y (0)=2， y (2)=－14， y (3)=11, 故在[－1，3]上，函数的最大值是11，最小值为－14. 23. 求数列的最大的项. 解：令, 令得x=1000.因为在(0，1000