离散数学教学课件04-函数-4.2.pptVIP

第四章 函 数 Functions 第二节 函数的运算 一、函数的复合运算 利用两个具有一定性质的已知函数，通过复合运算（也叫合成运算）可以得到新的函数。 定理： 设有两个函数 f: A ? B 和 g: B ? C，通过复合运算 o ，可得到新的从A到C的函数，记做 g o f ，即对任意x ? A，有 ( g o f )(x) = g ( f(x) ) 函数的复合运算 分析：因为f是从A到B的关系，g是从B到C的关系，因此f ? g是从A到C的关系，只需要证明对于? a ? A，存在着唯一的c ? C，且 a,c ? f ? g，即可证明g o f 是从A到C的函数。 证明：因为f是从A到B的函数，那么对于? a ? A， 存在着唯一的b ? B，且 a,b ? f 又因为g是从B到C的函数，那么对于? b ? B， 存在着唯一的c ? C，且 b,c ? g 因此，对于? a ? A，存在着唯一的c ? C，且 a,c ? f ? g 函数的复合运算 例5.2.1 设f: {a,b,c}?{A,B,C,D}，g: {A,B,C,D}?{1,2,3}f={a,A,b,C,c,B}, g={A,2,B,1,C,2,D,3} 求g o f 解： 函数的复合运算 例5.2.2 设f: {1, 2, 3} ? N，g: N ? Nf(x)=x+1, g(x)=2x+3，求 (1) g o f (2) f o g 解： (1) g o f : {1, 2, 3} ? N  (g o f) (x) = g ( f (x) )  = 2×( f(x) ) + 3 = 2×( x+1 ) + 3 = 2x+5 (2) 由于f的前域不等于g的陪域，因此不能求 f o g 函数的复合运算 推论： 设f、g、h都是函数，则 ( f o g ) o h = f o (g o h ) 即，函数的复合运算是可以结合的 函数的复合运算 若对于集合A，f: A ? A ，则函数f能同自身复合任意次。f 的 n 次复合定义为： f0 (x) = x fn+1 (x) = f ( f n (x) ) n ? N 函数的复合运算 定理：设f: A ? B ， g: B ? C  若f和g都是满射的，则g o f : A ? C也是满射的 证明：对于? c ? C，因为g: B ? C 是满射的，因此有 (?b)(b ? B∧g(b)=c) 对于这个使g(b)=c的b，由于f: A ? B是满射的，因此有 (?a)(a ? A∧f(a)=b) 因此对于? c ? C都有(?a)(a ? A∧g(f(a))=c)，即 g o f : A ? C是满射的 函数的复合运算 定理：设f: A ? B ， g: B ? C 若f和g都是单射的，则g o f : A ? C也是单射的 证明：对于? a1, a2 ? A，且a1 ≠ a2 ，因为f: A ? B是单射的，因此有f (a1) ≠ f (a2) 由于f (a1), f (a2) ? B，且f (a1) ≠ f (a2)，因为g: B ? C是单射的，因此有g ( f (a1) ) ≠ g ( f (a2) ) 因此g o f : A ? C是单射的 若f和g都是双射的，则g o f : A ? C也是双射的 函数的复合运算 例5.2.3 设E是偶整数集合，O是奇整数集合，Z是整数集合。函数f和g定义如下： f: Z ? E，f(x) = 2x g: E ? O，g(x) = x+1 f 和 g 都是双射函数，因此 g o f : Z ? O 也是双射的 (g o f)(x) = 2x+1 函数的复合运算 例5.2.4 设f: [0, 1] ? [0, 0.5] ， g: [0, 0.5] ? (0, 1)  f(x) = x/2 g(x) = x+0.25 f 和 g 都是单射函数，因此 g o f 也是单射的 g o f : [0, 1] ? (0, 1)  (g o f)(x) = x/2+0.25 函数的复合运算 定理：设 f: A ? B ， g: B ? C 若f和g都是满射的，则g o f : A ? C也是满射的 若f和g都是单射的，则g o f : A ? C也是单射的 若f和g都是双射的，则g o f : A ? C也是双射的 其逆不真。 函数的复合运算 例5.2.5 设 f: {a, b, c} ? {1, 2, 3, 4}  f = {a, 1, b, 2, c, 3} g: {1, 2, 3, 4} ? {A, B, C}  g = {1,