离散数学教学课件05-代数结构-5.1-5.2.pptVIP

* 么元 ⊙ 0 1 0 0 1 1 0 1 0和1是关于⊙的左么元。 x是关于运算⊙的左么元： x所在行中的所有元素依次与列表头元素相同 ⊙ 0 1 0 0 0 1 1 1 0和1是关于⊙的右么元。 x是关于运算⊙的右么元： x所在列中的所有元素依次与行表头元素相同 * 么元 ⊙ 0 1 0 0 1 1 1 1 0是关于⊙的么元。 x是关于运算⊙的么元： x所在行中的所有元素依次与列表头元素相同 x所在列中的所有元素依次与行表头元素相同 * 么元 定理： 若el和er分别是代数结构 S, ⊙ 关于⊙的左右么元，则 el = er = e 且 么元唯一 证明： 因为el是关于⊙左么元，所以el ⊙ er = er 因为er是关于⊙右么元，所以el ⊙ er = el 所以 el = er = e 设还有一个么元e’，则e’ ⊙ e = e’ = e，所以么元是唯一的 * 零元 七、零元(zero element) 设有代数结构 S, ⊙ ， θl, θr, θ ? S若 (?x)(x ? S ?θl ⊙x =θl )，则称θl为关于⊙的左零元 (?x)(x ? S ?x ⊙θr =θr )，则称θr为关于⊙的右零元 (?x)(x ? S ?θ⊙ x = x ⊙θ = θ)，即θ既为关于⊙的左零元又是关于⊙的右零元，则称θ为关于⊙的零元 * 零元 ⊙ 0 1 0 0 0 1 1 1 0和1是关于⊙的左零元。 x是关于运算⊙的左零元： x所在行中的所有元素都等于x ⊙ 0 1 0 0 1 1 0 1 0和1是关于⊙的右零元。 x是关于运算⊙的右零元： x所在列中的所有元素都等于x * 零元 ⊙ 0 1 0 0 1 1 1 1 1是关于⊙的零元。 x是关于运算⊙的么元： x所在行和列中的所有元素都等于x * 零元 定理： 若θl和θr分别是代数结构 S, ⊙ 关于⊙的左右零元，则 θl = θr = θ 且 零元唯一 证明： 因为 θl 是关于⊙左零元，所以 θl ⊙ θr = θl 因为 θr 是关于⊙右零元，所以 θl ⊙ θr = θr 所以 θl = θr = θ 设还有一个零元θ’，则θ’ ⊙ θ=θ’ =θ，故零元是唯一的 * 零元 定理： 若e和θ分别是代数结构 S, ⊙ （|S|1）关于⊙的么元和零元，则 e ≠ θ 证明：假设e = θ，则对于任意的x ? S，有： e ⊙ x = x = θ ⊙ x = θ 则S中所有元素都相同，与|S|1矛盾 * 么元和零元 例5.2.5 求下列代数结构的么元和零元 整数集合, 整数乘法 么元是1，零元是0 自然数集合, 自然数加法 么元是0，零元没有 非负实数集合 ? {+?}, max 么元是0，零元是+? 自然数集合, min 么元没有，零元是0 P(S), ? 么元是? ，零元是S P(S), ? 么元是S ，零元是? * 逆元 八、逆元（inverse element） 设有代数 S, ⊙ ， x, y, e ? S，且e是关于⊙的么元，若 x ⊙y = e，则称 x为y关于⊙的左逆元 y为x关于⊙的右逆元 x ⊙y = y ⊙x = e ，则称 x为y关于⊙的逆元， y为x关于⊙的逆元 存在逆元（左逆元、右逆元）的元素，称为可逆的（左可逆的，右可逆的） * 逆元 例6.2.6 代数 {a, b, c}, ⊙ 由下表定义 ⊙ a b c a a a b b a b c c a c c 可以看出，b是关于⊙的么元。 x是y关于运算⊙的左逆元：x行y列的元素是么元 x是y关于运算⊙的右逆元：x列y行的元素是么元 a是c关于⊙的左逆元 c是a关于⊙的右逆元 b是b关于⊙的逆元 x与y互为逆元：x行y列的元素，以及x列y行的元素 都是么元 * 逆元 代数 整数集合Z, 整数的加法+ 有么元0对于每个元素x ? Z，关于运算+都有逆元-x因为x + ( - x ) = 0 代数 自然数集合N, 自然数的加法+ 有么元0仅有0有逆元0 * 逆元 定理： 有代数结构 S, ⊙ ，若⊙是可结合的，么元e ? S，且一个元素x存在左逆元xl-1和右逆元xr-1 ，则 xl-1= xr-1 = x-1 且 逆元是唯一的 证明： xl-1 = xl-1 ⊙ e = xl-1 ⊙ (x⊙xr-1 ) = (xl-1⊙x) ⊙ xr-1 = e ⊙ xr-1 = xr-1 ，所以， xl-1= xr-1 = x-1 设x有另一个逆元xn-1，有： x-1 = x-1 ⊙ e