(新)弹性力学简明教程第二章 2.10——精品.pptVIP

§2-10 应力函数—常体积力 一. 常体力情况下的简化 二.应力函数 为非齐次偏微分方程组 1.对应的齐次偏微分方程的通解 所以,必存在一个具有全微分的函数A(x，y) 2.非齐次方程特解 3.平衡方程的解 结论： 1.当应力函数Φ为满足双调和方程的双调和函数时 （2—23）可以同时满足（2-2）平及（2-22）容，故 （2—23）为（2-2）平及（2-22）容的解。 [例题] 解：1.满足平衡微分方程 2.满足相容方程 3.满足边界条件： 4.位移单值条件： 2）求位移： 由于所给应力解答满足平衡微分方程、相容方 程、且在边界上满足应力边界条件，对于多连通域满足位移单值条件，故为问题的解。 * 当体力为常量时， （2-21）容简化为： ——(2-21a) ——(2-21b) —拉普拉斯算子 （2—22） 注意:在常体力情况下,(2-2)平、(2-22)容和(2-15)边中都不包含弹性常数，而且对于两种平面问题都是相同的。因此，在单连体的应力边界问题中，如果两个弹性体满足：a.相同的边界形状，b.受同样分布的外力，则不管两个弹性体的材料是否相同，也不管是在平面应力还是平面应变情况下，应力分量 的分布都是相同的。 应用：a.用实验方法量测结构的应力分量时；b.平面应力情况下的薄板模型代替平面应变情况下的长柱形结构。c.在常体力情况下，对于单连体的应力边 界问题，还可以把体力的作用改换为面力的作用，以便解答问题和实验量测。 设原问题中应力分量 满足： (a) (b) (c) (d) 比较(a),(b),(c),(d)，得到 满足：体力为零的平衡微分方程和面力分量分别增加了 和 的应力边界条件。 于是得到求解原问题的办法：先不计体力，而对弹性体施加代替体力的面力分量 和 ，求出 以后，再在 和 上叠加上和 ，即得原问题的应力分量。 例如：如图所示深梁在重力作用下的应力分析(p为深梁的容重)。 先不计体力，而施以代替体力的面力。 C A B D E F h h C A B D E F 2ph ph x y x y p 结论： 当体力为常量时，按应力求解平面应力（应变）问题，可归结为根据（2-2）平及（2-22）容求出应力分量{?},并要求在边界上满足应力边界条件（2-15）边及位移单值条件。 研究（2-2）平及（2-22）容的求解 （2—22） 根据微分方程解的理论，(2—2）平的解由两部分组成：通解及其一个特解。 由第一式有 全微分充要条件 由第二式有： （a） （b） (d) （c） 同理：根据全微分充要条件，同样存在另一个函数B(x，y) 比较（ a）（ d ）两式 对应的齐次偏微分方程的通解： Φ—平面应力函数（Airy应力函数） 同理可以找到一个函数Φ(x，y)，有 （2-23） 将（2-23）代入（2-22）容 （2-22）容 可记为： 或 这里Φ（x，y）为双调和函数 注：满足 的Φ函数称调和函数 展开后： （2—24） （2—24）为用应力函数表示的相容方程。 2.当体力为常量时，按应力求解平面应力（应变）问题，可归结为根据（2-24）容求出应力函数Φ ，然后由平衡方程的解（2—23）求出应力分量{??，并要求在边界上满足应力边界条件（2-15）边，及位移单值条件（多连体时）。 [多连体的位移单值条件] 单连体：具有一个连续的边界。 多连体：具有两个以上互不相交的连续的边界。 位移单值条件：一点处的位移是单值的。 *按应力求解时，对于多连体，要利用位移单值条件，才能完全确立应力分量。 将?x=?y=-q,?xy=0代入 故满足平衡方程 q x y q O 条件，也满足位移单值条件，是问题的解。 任意形状等厚度薄板全部边界上受均布压力q，试证明： 满足平衡方程、相容方程和应力边界 将?x=?y=-q,?xy=0代入，自然满足 q ql qm x y ?x ?y ?yx ?xy 将?x=?y=-q,?xy=0， 代入 满足 1）求应变： （1） （2） （3） 代入（3）得 于是有 ： 由（1）式积分 由（2）式积分 积分： 上式为线性函数，为单值函数。