(新)弹性力学li2008-04——精品.ppt

第四章 平面问题的极坐标解答 4.8 楔形体问题 在此问题中，M与dP的铅直和水平距离分别为x和 ， 则 在M点引起的应力为： q A B O y y b a x x M 第四章 平面问题的极坐标解答 4.8 楔形体问题 积分即得： 其中q为 的函数，代入积分即可。 q A B O y y b a x x M 与前面类似， 令： 有 该方程的特征方程： 特征根为： 方程的解为： b a 问题2 相应的应力分量： 对上述应力分量应用边界条件（c）, 有 内边界 外边界 （c） （e） 求解A、B、C、D，然后令 a / b = 0，得 b a 问题2 代入应力分量式（e）, 有 （f） 将问题1和问题2的解相加, 得全解： （4-17） 讨论： （1） 沿孔边，r = a，环向正应力： （4-18） 3q 2q q 0 －q 90° 60° 45° 30° 0° （2） 沿 y 轴，θ =90°，环向正应力： 1.04q 1.07q 1.22q 3q 4a 3a 2a a r A b —— 齐尔西（G. Kirsch）解 （3） 沿 x 轴，θ =0°，环向正应力： （4） 若矩形薄板（或长柱）受双向拉应力 q1、q2 作用 x y q1 q2 q2 q1 x y q1 q1 x y q2 q2 （4） 若矩形薄板（或长柱）受双向拉应力 q1、q2 作用 x y q1 q2 q2 q1 x y q1 q1 x y q2 q2 叠加后的应力： （4-19） 第四章 平面问题的极坐标解答 4.7 圆孔的孔边应力集中问题 （5）一般孔口问题 ①先研究无孔时的情形：求出孔心A处的 及应力主向。 ②将 作为孔口周边的应力场， x,y轴分别放在 的方向。 ③根据（4）中情况求解。 任意形状的薄板（或长柱）受任意面力，而在距离边界较远处有一个小圆孔。其求解步骤如下： x y A 第四章 平面问题的极坐标解答 4.7 圆孔的孔边应力集中问题 注意： ①严格说来，求得的解答只是对无限域中的小圆孔才是精确的； ②在实用上，只要弹性体的边界离开圆孔的中心有足够的距离（例如三倍孔径左右），上述解答的误差还是比较小的。 §4-8 楔形体问题 x y O P 1. 楔顶受有集中力P作用 楔形体顶角为α，下端为无限长（单位厚度），顶端受有集中力 P ，与中心线的夹角为β，求： （1）应力函数的确定 因次分析法： 由应力函数与应力分量间的微分关系， 可推断： （a） 将其代入相容方程，以确定函数： 得： x y O P —— 4阶常系数齐次的常微分方程 其通解为： 其中A，B，C，D为积分常数。 将其代入前面的应力函数表达式： x y （4-20） （对应于无应力状态） （2）应力分量的确定 x y O P 边界条件： （1） —— 自然满足 （2） 楔顶的边界条件： a b 任取一圆弧 ，其上的应力应与楔顶的力 P 平衡。 （b） 将式（b）代入，有： x y O P a b 积分得： 可解得： 代入式（b）得： （4-21） —— 密切尔（ J. H. Michell ）解答 几种特殊情况： P x y O a b （1） x y O a b （2） 两种情况下的应力分布： 应力对称分布 应力反对称分布 P 第四章 平面问题的极坐标解答 4.8 楔形体问题 （3）引申：半无限大平面受任意方向的集中力P作用 只须令（4-21）解答中， 即可得其解答。 即： y P （4）推广：半无限大平面受竖向集中力P作用 只须令（4-21）解答中， ， 即可得其解答。 即： y P （4-26） 第四章 平面问题的极坐标解答 4.8 楔形体问题 （5）推广：半无限大平面受水平方向的集中力P作用 y P 只须令（4-21）解答中， ， 即可得其解答。 即： 第四章 平面问题的极坐标解答 4.8 楔形体问题 （6）楔形体受垂直于边界的集中力P作用 为了应用（4-21）解答，坐标系如图所示， 为力的作用方向与x轴的夹角，x轴为楔形体的中心线。此时，只须将（4-21）令 即可得其解答。 即： 第四章 平面问题的极坐标解答 4.8 楔形体问题 （7）楔形体受平行于边界的集中力P作用 坐标系如图所示，令（4-21） 即可得其解答。 即： 注：楔顶作用集中力时，只产生径向正应力，环向正应力和剪应力均为零。 x y O M 2. 楔顶受有集中力偶 M 作用 （1）应力函数的确定 由应力函数与应力分量间的微分关系， 可推断： 将其代入相容方程： （c） （4-22）