(新)弹性力学-第三章——精品.pptVIP

* 第三章 平面问题的直角坐标解答 要点 —— 用逆解法、半逆解法求解平面弹性力学问题。 —— 属于平面问题的应力解法 Chapter 3 solution of plane problems in rectangular coordinates §3-1 多项式解答 §3-2 位移分量的求出 §3-3 简支梁受均布载荷 §3-4 楔形体受重力和液体压力 主 要 内 容 §3-1 多项式解答(Solutions by Polynomials) 适用性： 由一些直线边界构成的弹性体。 目的： 考察一些简单多项式函数作为应力函数φ(x,y) ，能解决什么样的力学问题。 ——逆解法 其中： a、b、c 为待定系数。 检验φ(x,y) 是否满足双调和方程： 显然φ(x,y) 满足双调和方程，因而可作为应力函数。 （1） 1. 一次多项式 polynomial of first degree （2） Inverse method §3-1 多项式解答(Solutions by Polynomials) 适用性： 由一些直线边界构成的弹性体。 目的： 考察一些简单多项式函数作为应力函数φ(x,y) ，能解决什么样的力学问题。 ——逆解法 1. 一次多项式 polynomial of first degree （3） 对应的应力分量： 若体力：X = Y =0，则有： Inverse method 结论1： （1） （2） 一次多项式对应于无体力和无应力状态； 在该函数φ(x,y)上加上或减去一个一次多项式，对应力无影响。 2. 二次多项式 polynomial of second degree （1） 其中： a、b、c 为待定常系数。 (假定：X =Y = 0 ; a 0 , b 0, c 0) 检验φ(x,y) 是否满足双调和方程，显然有 （2） (可作为应力函数 ) （3） 由式（2-26）计算应力分量： x y 2c 2c 2a 2a 结论2： 二次多项式对应于均匀应力分布。 x y 试求图示板的应力函数。 例： x y 3. 三次多项式 polynomial of second degree （1） 其中: a、b、c 、d 为待定系数。 检验φ(x,y) 是否满足双调和方程，显然有 （2） (可作为应力函数 ) (假定：X =Y = 0) （3） 由式（2-26）计算应力分量： 结论3： 三次齐次多项式对应于线性应力分布。 例： 可算得： x y 1 l l 图示梁对应的边界条件： M M 可见： —— 对应于矩形截面梁的纯弯曲问题应力分布。 常数 d 与弯矩 M 的关系： (1) 由梁端部的边界条件： (2) 可见：此结果与材力中结果相同， 说明材力中纯弯曲梁的应力结果是正确的。 x y 1 l l M M 说明： (1) 组成梁端力偶 M 的面力须线性分布，且中心处为零，结果才是精确的。 (2) 若按其它形式分布，如： 则此结果不精确，有误差； 但按圣维南原理，仅在两端误差较大，离端部较远处误差较小。 (3) 当 l 远大于 h 时，误差较小；反之误差较大。 4. 四次多项式 （1） 检验φ(x,y) 是否满足双调和方程 （2） 得 可见，对于函数： 其待定系数，须满足下述关系才能作为应函数： （3） 应力分量： —— 应力分量为 x、y 的二次函数。 （4） 特例： （须满足：a + e =0） 总结： （多项式应力函数 的性质） （1） 多项式次数 n 4 时，则系数可以任意选取，总可满足 。 多项式次数 n ≥ 4 时，则系数须满足一定条件，才能满足 。 多项式次数 n 越高，则系数间需满足的条件越多。 （2） 一次多项式，对应于无体力和无应力状态；任意应力函数φ(x,y)上加上或减去一个一次多项式，对应力无影响。 二次多项式，对应均匀应力状态，即全部应力为常量；三次多项式，对应于线性分布应力。 （3） （4） 用多项式构造应力函数φ(x,y) 的方法 —— 逆解法（只能解决简单直线应力边界问题）。 按应力求解平面问题，其基本未知量为： ，如何由 求出形变分量、位移分量？ 问题： §3-2 位移分量的求出Determination of displacements 以纯弯曲梁为例，说明如何由 求出形变分量、位移分量？ x y l 1 h M M 1. 形变分量与位移分量 由前节可知，其应力分量为： 平面应力情况下的物理方程： （1）