(新)弹性力学第二章_3——精品.pptVIP

注意 上周一课调整到本周周二下午1-2节，教室为2J-101 例 试考虑下列平面问题的应变分量是否可能存在 （a）此组应力满足相容方程。为了满足平 衡微分方程，必须 A=-F, D=-E （b）为了满足相容方程，其系数必须满足 A + B = 0。 为了满足平衡微分方程，其系数必须满足 A = B =-C/2。 上两式是矛盾的，因此此组应力分量不可能存在。 思考与练习 练习题（P32）：2-13；2-17 练习题可以选做。 上交作业要求：必须独立完成；必须认真 部分练习题会在上课时评讲。 部分作业答案 第二章 平面问题的基本理论 1.应力边界条件 等效的方法 平衡的方法: 2．位移边界条件 3．混合边界条件 绝大部分问题都包含以上两种边界条件，称混合边界条件。 4. 小边界上积分的应力边界条件 圣维南原理 符号的问题（总是由应力确定符号） （1）直接由应力的符号判断面力主矢、主矩的正负号 （2）将面力的主矢、主矩变换为等效的应力判断符号 sx FN x y sx x y M txy FS x y 例：悬臂梁上受线性分布荷载，如图所示。试根据材料力学中σx的表达式，用平衡微分方程导出σy和τxy的表达式。 解：梁一般作为平面应力问题处理 则： （1） 可以取单位宽度的梁研究，任意截面的弯矩为： 代入平衡微分方程： 得： （2） 利用上下面的边界条件确定f(x) （3） 将（3）代入 得： 由边界条件： 可以得到同样结果 试写小边界的边界条件。 应变 位移u，v 几何方程 物理方程 应力 代入平衡微分方程 含u，v的两个微分方程 §2-8 按位移求解平面问题 思路： 以平面应力问题为例： 代入 得： 代入平衡微分方程得: 将平面应力状态中的E换为 换为 即得平面应变状态的公式。 1. 求出位移再利用几何方程就可以求出形变；代入物理方程即可求出应力。 2. 如果一组位移满足以上方程，且满足边界（包括位移、应力）条件，则就是原方程的解。此结论可用来验证试凑的位移解。 说明： 例：如图所示杆件，材料容重为rg，弹性模量为E，泊松比m =0，试用位移法求解。 解：杆的均匀拉伸可以作为一维问题处理，即v=v(y)，代入位移方程 可得： 积分可得： 边界条件为： 再由： 代入（a） （a） 思考图中增加一个约束的问题。 §2-9 按应力求解平面问题 · 相容方程 u, v, ex , ey , gxy 几何方程 物理方程 一个含 ex , ey , gxy方程 一个含sx , sy , txy的方程 思路： 利用三个几何方程削去两个位移分量： 上式称为形变协调方程或相容方程。 利用平衡微分方程可将切应力消去 ： 将 代入上式： 对平面应变问题相容方程变为： 此式是平面应力问题中用应力表示的相容方程，它和两个平衡微分方程联立即可求解三个未知量。 可得： 1. 有了应力解后，利用物理方程即可求出形变，再利用几何方程积分求出位移。 2. 由于由应力求位移需要积分运算较为复杂，且会产生待定的积分项，所以不适合求解含位移边界条件的问题，即：采用这种方法时一般全部是应力边界条件。 在小边界上，有时可以将位移边界条件化为应力边界条件： 3. 如果一组应力解满足以上平衡微分方程及相容方程，且满足全部应力边界条件，则对单连通体（相当于数学中的单连通域）就是原方程的解。此结论可用来验证试凑的应力解。 4. 对于多连通域，还要验证所对应的位移是否满足单值性（位移单值条件）。 例如：第四章极坐标的位移解答 不满足位移单值条件。 解：应变分量存在的必要条件是满足形变相容方程，即 （a）相容； （b）须满足B = 0, 2A=C ； （c）只有C = 0才有可能。 练习： 在无体力情况下，试考虑下列应力分量是否可能在单连体中存在： 提示：弹性体中的应力，在单连体中必须满足： （1）平衡微分方程（无体力） ； （2）应力表示的相容方程（无体力）； （3）应力边界条件。 * *