(新)弹性力学第四章 用极坐标解平面问题——精品.docVIP

第四章 用极坐标解平面问题 4.1.极坐标中的平衡微分方程 工程上常常可以遇到圆形、环形、楔形或扇形类的结构物。在这些情况下，用直角坐标描述边界条件会变得相当复杂，由于极坐标使得结构的边界与坐标线一致，因而使边界条件的描述更加简单，使问题更易于求解。 首先我们定义极坐标中的应力分量和体积力分量。用夹角为的两条极径和两条半径相差为的同心圆弧截取一个微元体（图4.1）。圆弧截面称为面。面的法向沿径向而且指向增加方向，这一圆弧面称为正面，反之称为负面。极径截面称为面。面的法向沿环向而且指向增加方向，这一极径截面称为正面。反之称为负面。 面上的正应力用表示，剪应力用表示。面上的正应力用表示，剪应力用表示。用表示体积力在径向的分量,用表示体积力在环向的分量。应力的符号规定与直角坐标下的规定完全相同：正面上指向正向（坐标增加的方向）的应力为正值应力，负面上指向负向（坐标减小的方向）的应力亦为正值应力，反之，为负值的应力。体积力符号规定也与直角坐标下的规定相同，指向坐标轴正向（坐标增加的方向）的体积力为正值，反之，为负值。 直角坐标和极坐标之间具有严格的变换关系。从理论上说，我们完全可以通过坐标变换的方法由直角坐标的基本方程导出极坐标下的相应方程。但是，为了加深对极坐标下平衡方程物理意义的理解，我们仍然通过极坐标下的微分单元体的平衡导出极坐标下的平衡微分方程。我们取一个微分单元体研究，各个面上的应力分量和体积力如图4.2所示。 负面上的正应力为，剪应力为；正面的坐标比负面增加了，所以正面的应力和负面相比，应力产生了一个增量，分别为和。负面上的正应力为，剪应力为；正面的坐标比负面增加了，所以正面的应力和负面相比，应力产生了一个增量，分别为和。 由于微分单元体厚度是1，所以负面的面积为，正面的面积为；正、负面的面积均为。体力为和。 各面的合力对形心求矩，可以再次证明剪应力互等定理。 （4.1） 取各面上的力在方向上的平衡，有： （a） 由于是个微量，所以有和成立。把它们用于（a）式并略去高一阶的无穷小量。利用剪应力互等定理并在方程两边同除以,整理后得 （b） 再考察各面上的力在方向上的平衡，同理可得： （c） （b）式和（c）式联立得到一组平衡微分方程： （4.2） 这个方程组中包含了、和三个独立的未知函数，方程本身比直角坐标下的相应方程复杂得多。一般情况下，它的求解也复杂得多。 4.2. 极坐标中的几何方程及物理方程 在4.1节中我们导出了三个应力分量应该满足的平衡微分方程。但是仅仅通过两个方程求解三个未知函数是不够的，必须找到一个补充方程，也就是说要考虑变形几何关系。首先要定义在极坐标中的应变分量与位移分量。 比照在直角坐标中的应变分量的定义办法，我们定义与应力相对应的应变，表示径向线段的线应变（径向正应变），表示环向线段的线应变（环向正应变），表示径向线段和环向线段之间的直角改变量（剪应变）。 位移分量是按照位移的方向定义的，表示径向位移，表示环向位移。 变形几何方程是描述位移和应变之间关系的一组方程。欲研究平面弹性体在极坐标下的变形，要选取相互正交的径向线段和环向线段。径向线段，环向弧线所含的弧度为，弧长。线段端点及其坐标分别为，和。 由于极坐标中正交线段的位移可以看作沿径向的位移和沿环向位移的合成。在分析位移与应变关系时我们分两步完成，第一步先考察正交线段仅发生径向移动（不考虑环向位移）所产生的位移与应变分量间的关系（图4.3）。 正交线段的径向移动使点移动到点，位移为，点移动到点，由于、两点极角相同，点极径比点的极径增加了，所以其径向位移产生一个由于变化带来的函数增量，点的位移为，这两点的环向位移，的转角为零。 线段的伸长量可以通过两个端部、两点的位移差计算，产生的径向线应变为， 即 （a） 正交线段的径向移动同时使点移动到点，由于、两点极径相同，点极角比点的极角增加了，所以其径向位移产生一个由于变化带来的函数增量，点的径向位移为，这两点的环向位移也有。同理，弧所产生的环向线应变为，即 （b） 由于、两点径向位移不同，就使得产生了一个转角， （c） 故剪应变为