(新)弹性力学7——精品.pptVIP

* Chap.7 平面问题的极坐标解 Solution for plane problems in polar coordinate 1.意义：弹性力学问题往往比较复杂，解答时选取适宜的坐标系可使分析 计算大为简化，一般直线边界宜用直角坐标系，而圆、弧、径向 平面围城的边界(圆筒或柱、旋转圆盘、楔形体)宜用极坐标系。 2.极坐标与直角坐标的关系： x y r θ (x,y) (r,θ) x O θ dθ A C D dr r σr σθ τrθ τθr B y Kr Kθ 取如图两弧面/两径向面/单位厚围成的微元体体力Kr Kθ 应力同前 正面 负面 1.平衡微分方程 同理 ΣK θ =0 应力分量3个 §7.1 平面问题极坐标下基本方程 2.几何方程 应变分量3个 位移分量2个：u, v为r,θ的函数 x y M A B r dr θ dθ 折杆MAB,坐标如图,为便于推导，设 (1)v=0 求u引起的应变 u M A B β1 (2)u=0 求v引起的应变 x y M A B r dr θ dθ v β2 B M A v/r (3)几何 方程 求u,v共同 引起的应变 3.物理方程 同前平面应变问题只要将式中E，ν分别换为 各向同性材料假设下，极坐标系的本构方程与直角坐标的表达形式是相同的 只要将其中的坐标 x 和 y 换成 r和θ即可??? 对于 平面应力问题，有 或 即可 独立基本未知分量8个为r,θ的函数，与z无关. 独立基本方程8个 §7.2 极坐标下应力函数与应力解法基本方程 平面问题应力解法一个方程简单、求解方便。由于? s x+s y= s r+s j为应力不变量，因此对于极坐标问题，仅需要将直角坐标中的Laplace算符转换为极坐标的形式。极坐标下的方程可变换得 1.坐标变换 一阶偏导 二阶偏导 2.坐标变换 x O θ dθ A C D dr r σr σθ τrθ τθr B y Kr Kθ 由图可知θ=0时， 体力Kr=Kθ=0时,有 3.坐标微分对应替换关系 比较两种坐标系下应力函数表示的应力分量微分算子间对应关系式，得如下替换关系 4.应力函数表示的应力解法基本方程 将两种坐标系下调和算子对应替换，可得极坐标系的Laplace算符和应力函数表示的应力解法基本方程 （常体力，两种平面问题都适用） 双调和算符 r θ r θ §7.3 轴对称问题 1.轴对称问题 物体几何与受力均关于中心轴对称的平面问题 如圆筒、圆环、圆盘等 不计体力Kr=Kθ=0 特点 (1)应力轴对称同半径各点应力状态相同，只与r有关，与θ无关 (2)应力函数φ=φ(r) 与θ无关σr= σr(r) , σθ= σθ(r) ,τrθ=0 (3)位移函数与未知量v=0 与θ无关u= u(r) , σr ,σθ,εr,εθ, u五个未知量 基本方程 (1)平衡微分方程 (2)几何方程 变形协调方程 (3)物理方程 平面应力问题 或 2.轴对称问题的求解 变形协调方程 应力解法（不计体力） 应力函数 φ=Alnr+Br2lnr+Cr2 +D 应力分量 应变分量（由物理方程） 位移分量 由几何方程第一式积分 由几何方程第二式 比较二解需要单满足单值性要求， 应力、位移分量通解 平面应变问题对应替换 位移解法 应变分量由几何方程 应力分量代入物理方程 基本方程平衡微分方程 位移通解逐次积分 应力通解 与应力解法解函数形式相同 应用：轴对称问题在工程中很多: (1)化工厂高压容器 (2)井中油管 (3)压力隧道 (4)输油管道等强度设计中广泛应用 例7-1 圆环（或筒）受均布压力。求应力和位移解 解 代入通解，得 (1) 边界条件 r θ r θ qb qa b a (2)应力解 圆环为平面应力问题; 圆筒为平面应变问题 (3)位移解 (3)讨论 qa σr σθ 例高压容器 b→∞有内压下小孔的无限大板(体)解 b→∞有小孔的等压板 qb σr σθ 两端敞开 两端封闭 两端轴向约束 平面应变问题对应替换 解 边界条件 与连续条件 (2)应力解 (3)位移解 r θ r θ qb q b a 属于平面应变轴对称问题。参考(7-18)、(7-16)无限大体和圆筒分别有通解 例7-2 无限大体中内压圆筒受均布压力q下的隧洞。求应力和位移解 代入通解，得A1,C1,A2,C2代回通解，得无限大体和圆筒定解 设完全接触 r θ r0 例7-3 圆弧曲杆中性层、内、外半径分别为r0、a、b，厚度为1单位，两端受力偶 M。求应力和位移解 各截面具有相同的弯