(精)复变函数与积分变换第1章.pptVIP

练习 1 指出下列不等式所确定的点集, 是否有 界? 是否区域? 如果是区域, 单连通的还是多连通的? 无界的单连通区域(如图). 解 (1) 当 时, 是角形域, 无界的单连通域(如图). 周外部, 无界多连通区域(如图). 是以原点为中心, 半径为 的圆 表示到1, –1两点的距离之 表示该椭圆的内部, 这是有界的单连通区域(如图). 和为定值 4 的点的轨迹, 因为 所以这是椭圆曲线. 内部. 这是有界集, 但不是区域. 令 是双叶玫瑰线(也称双纽线). 表示双纽线的 练习 2 满足下列条件的点集是否区域? 如果 是区域, 是单连通区域还是多连通区域? 这是一条平行于实轴的直线, 不是区域. 它是单连通区域. 这是以为 右边界的半 平面, 不包括直线 它是多连通区域. 它不是区域. 这是以 为圆心, 以2为 半径的去心圆盘. 这是以i为端点, 斜率为1的半 射线, 不包括端点i. §1.3 复变函数极限与连续 1 复变函数的定义 2 复变函数的极限 3 函数的连续性 1.3.1 复变函数的定义 定义1.1 设E是复平面上的点集, 若对任何 z?E, 都存在惟一确定的复数w和z对应, 称在 E 上确定了一个单值复变函数，用w=f (z)表示. E 称为该函数的定义域. 在上述对应中, 当z?E所对应的w不止一个 时, 称在E上确定了一个多值复变函数. 数, 而 例如, w=|z|是以复平面C为定义域的单值函 是定义在C \{0}上的多值函数. 以后不特别申明时，所指的复变函数都是单 值函数. 因为z=x+iy和w都是复数, 若把w记为u+iv时, u与v也是z的函数, 因此也是 x 和 y 的函数. 于是, 可以写成 其中u(x,y)和v(x,y)都是实变量的二元函数. 例如: w=z2 是一个复变函数. 令 因为 于是函数w=z2对 应于两个二元实函数 令 于是 反之, 如果 反函数的定义 设函数w=f(z)的定义域为复平面上的点集D, 称复平面上的点集 为函数w=f(z)的值域. 对于任意的w?G, 必有D中一个或几个复数 与之对应. 于是, 确定了G上一个单值或多值函数z=j(w), 称之为函数w=f(z)的反函数. 定义1.2　设复变函数w=f(z)在z0的某个去心 邻域内有定义, A是复常数. 若对任意给定的e 0, 存在d 0, 使得对一切满足0|z-z0|d 的z , 都有 成立, 则称当z趋于z0时, f(z)以A为极限，并记做 或 注意: 定义中z?z0的方式是任意的. 1.3.2 复变函数的极限 例1.7 当 z?0 时, 函数 极限不存在. 事实上, 当z沿直线y=kx趋于零时, 该极限值随k值的变化而变化, 所以极限 不存在. 定义1.3　设 f (z)在z0的邻域内有定义, 且 则称f(z)在z0处连续. 若f(z)在区域D内的每一点都连续，则称f(z) 在区域D上连续. 关于函数f(z)在连续曲线C上的连续性和闭 区域 上的连续性, 只要把上述定义中的z限制 在C或 上即可. 1.3.3 函数的连续性 定理1.1　设 则 f (x) 在 处连续的充分必要条件是 都在 点连续. 证明　只须注意, 由等式 可得不等式 又有不等式 这个定理说明复变函数 的连续性等价两个二元实函数 的连续性. 利用这些不等式及 ，结论易证. 例1.8　设复变函数 f (z)在点 z0 连续，并且 f (z0)?0, 则存在 z0的某个邻域，使 f (z)在此邻域 内恒不为0. 证明 由于 f (z)在点 z0 连续, 在 点连续, 故 在 点连续. 因 所以 由二元函数的连续性, 必存在 的某个邻域, 使得在此邻域内, 即在此邻域内f (z)?0. 定理1.2　设 都在 点连续, 则 都在 点连续，而 当 时， 也在 点连续. 定理1.3　设 在 处连续， 而 在 点连续，则 复合函数 在 点连续. 应用