(精)复变函数与积分变换第二章.pptVIP

第二章 解析函数 §2.1 解析函数的概念 注解： 注解： 小结与思考 §2.3 初等函数 三种对数函数的联系与区别： 小结与思考 本章内容总结 tanz 的图形 例 求 根据定义，有 解 例 求 根据定义，有 解 五、反三角函数 记为 如果 定义 则称 w 为复变量 z 的反余弦函数， 计算 由 同理可得 反三角函数Arctanz的图形 六、双曲函数与反双曲函数 双曲正切函数 双曲余切函数 双曲正弦函数 定义 双曲余弦函数 P36 定义 2.9 双曲函数sinhz（或shz） 六、双曲函数与反双曲函数 反双曲正切函数 反双曲余弦函数 反双曲正弦函数 定义 反双曲余切函数 P36 复变初等函数是一元实变初等函数在复数范围内的自然推广, 它既保持了后者的某些基本性质, 又有一些与后者不同的特性. 如: 1. 指数函数具有周期性 2. 三角正弦与余弦不再具有有界性 3. 双曲正弦与余弦都是周期函数 思考题 实变三角函数与复变三角函数在性质上有哪些异同? 本章总结 1、复变函数导数与解析函数的概念 2、函数可导与解析的判别方法：1）利用定义； 2）利用充（分）要条件 3、解析函数与调和函数的关系 4、复变初等函数 二、共轭调和函数 设函数 及 均为区域 D 内的调和函数， 定义 函数 在区域 D 内解析的充要 定理 条件是： 在区域 D 内，v 是 u 的共轭调和函数。 则称 v 是 u 的共轭调和函数。 注意 v 是 u 的共轭调和函数 u 是 v 的共轭调和函数。 且满足 C - R 方程： P28 定义 2.4 三、构造解析函数 问题 已知实部 u，求虚部 v (或者已知虚部 v，求实部 u )， 使 解析，且满足指定的条件。 注意 必须首先检验 u 或 v 是否为调和函数。 方法 偏积分法 全微分法 构造解析函数 的依据： 依据 (1) u 和 v 本身必须都是调和函数； (2) u 和 v 之间必须满足 C - R 方程。 方法 偏积分法 三、构造解析函数 ( 不妨仅考虑已知实部 u 的情形 ) (1) 由 u 及 C - R 方程 (2) 将 (A) 式的两边对变量 y 进行(偏)积分得： 其中， 已知，而 待定。 (3) 将 (C ) 式代入 (B ) 式，求解即可得到函数 得到待定函数 v 的两个偏导数： (A) (B ) (C ) C 方法 三、构造解析函数 全微分法 ( 不妨仅考虑已知实部 u 的情形 ) (1) 由 u 及 C - R 方程得到待定函数 v 的全微分： (2) 利用第二类曲线积分(与路径无关) 得到原函数： C0 C1 C2 其中， 或 故 是调和函数。 由 解 (1) 验证 为调和函数 验证 为调和函数，并求以 例 的解析函数 使得 为实部 ▲ 由 由 解 (2) 求虚部 。 方法一： 偏积分法 验证 为调和函数，并求以 例 的解析函数 使得 为实部 ▲ 由 方法二： 全微分法(利用第二类曲线积分) C1 C2 验证 为调和函数，并求以 例 的解析函数 使得 为实部 ▲ 解 (2) 求虚部 。 由 方法三： 全微分法(利用“反微分”法) 验证 为调和函数，并求以 例 的解析函数 使得 为实部 ▲ 解 (2) 求虚部 。 解 (3) 求确定常数 c 根据条件 将 代入得 即得 验证 为调和函数，并求以 例 的解析函数 使得 为实部 ▲ 2.3.1 指数函数 2.3.2 对数函数 2.3.3 幂函数 2.3.4 三角函数与反三角函数 2.3.5 双曲函数与反双曲函数 复变函数中的初等函数是实数域中初等函数的推广，它们 两者是一样的。 §2.3 初等函数 的定义方式尽可能保