(精)复变函数与积分变换 第02章 解析函数.pptVIP

幂函数zb 定义 ①当b = n (正整数) w=z n 在整个复平面上是单值解析函数 除去b为正整数外，为多值函数， 当b为无理数或复数时，有无穷多值。 5. 反三角函数与反双曲函数 定义： 反三角函数与反双曲函数的计算： 本章总结 （1）复变函数的导数； （2）解析函数的概念、性质及判别方法； （3）初等函数及其性质； 主要内容： （1）函数解析当且仅当C-R公式成立； （2）解析函数的各阶导数仍然解析； （3）初等复变函数的特殊性质； 本章总结 主要结论： 作 业 P68 15；16；17；18； 20；23； 使用时: i) 判别 u(x, y)，v (x, y) 偏导数的连续性， ii) 验证C-R条件. iii) 求导数： 前面我们常把复变函数看成是两个实函数拼成的, 但是求复变函数的导数时要注意, 并不是两个实函数分别关于x,y求导简单拼凑成的. 二. 举例 例1 判定下列函数在何处可导，在何处解析： 解 (1) 设z=x+iy w=x-iy u=x, v= -y 则 解 (2)∵ f (z)=ex(cosy +isiny) 则 u=excosy, v= exsiny 仅在点z = 0处满足C-R条件，故 解 (3) 设z=x+iy w=x2+y2 u= x2+y2 , v=0 则 例2 求证函数 证明 由于在z≠0处，u(x,y)及v(x,y)都是可微函数， 且满足C-R条件： 故函数w=f (z)在z≠0处解析，其导数为 例3 证明 例4 如果f (z)=u(x, y)+i v(x, y)是一解析函数， 且f ?(z)≠0，那么曲线族u(x, y)=C1， v(x, y)=C2必互相正交，这里C1 、 C2常数. 那么在曲线的交点处，i)uy、 vy 均不为零时， 由隐函数求导法则知曲线族 u(x, y)=C1， v(x, y)=C2中任一条曲线的斜率分别为 解 利用C-R方程 ux=vy, uy=-vx 有 k1k2=(-ux/uy)(-vx/vy)= -1，即：两族曲线互相正交. ii) uy，vy中有一为零时，不妨设uy=0，则k1=∞， k2=0（由C-R方程） 即：两族曲线在交点处的切线一条是水平的，另 一条是铅直的, 它们仍互相正交。 练习: a=2 , b=-1 , c=-1 , d=2 第2.2节作业 P66-68 7； 9； 10； 1. 指数函数 2. 三角函数和双曲函数 3. 对数函数 4. 乘幂与幂函数 5. 反三角函数与反双曲函数 §2.3 初等函数 本节将实变函数的一些常用的初等函数推广到复变函数情形，研究这些初等函数的性质，并说明它的解析性。 内 容 简 介 一. 指数函数 它与实变指数函数有类似的性质： 定义 这个性质是实变指数函数所没有的。 例1 例2 例3 二. 三角函数和双曲函数 推广到复变数情形 定义 正弦与余弦函数的性质 思考题 由正弦和余弦函数的定义得 其它三角函数的定义(详见P51) 定义 —称为双曲正弦和双曲余弦函数 双曲正弦和双曲余弦函数的性质 三. 对数函数 定义 指数函数的反函数称为对数函数。即， (1) 对数的定义 (2) 对数函数的性质 见§1-6例1 例4 四. 乘幂 与幂函数 乘幂 ab 定义 —多值 —一般为多值 — q支 (2)当b=1/n(n正整数)时，乘幂ab与a的n次根意义一致。 (1)当b=n(正整数)时，乘幂ab与a的n次幂意义一致。 解 例5 第二章 解析函数 第一节 解析函数的概念 第二节 函数解析的充要条件 第三节 初等函数 1. 复变函数的导数定义 2. 解析函数的概念 §2.1 解析函数的概念 一. 复变函数的导数 (1)导数定义 定义 设函数w=f (z) z∈D, 且z0、 z0 +Δz∈D， 如果极限 存在，则称函数 f (z) 在点z0处可导。称此极限值为f (z)在z0的导数， 记作 如果w=f(z)在区域D内处处可导，则称 f (z) 在区域D内可导。 (1) Δz→0是在平面区域上以任意方式趋于零。 (2) z=x+iy,Δz=Δx+iΔy, Δf=f(z+Δz)-f(z) 例1 (2)求